Petersen图互联网络拓扑结构研究范文

摘要:设计了一种基于广义Petersen图的互联网络拓扑结构，分析证明了该互联网络拓扑结构该结构的直径。通过分析比较，得出设计的互联网络拓扑结构具有小连通度和小直径的特点。

关键词:互联网络;广义Petersen图;网络直径

一个FPk网络包括5k个节点，也就是k个Petersen图的笛卡尔积[1]。Das等把Petersen图嵌入Hypercube网络,构造了一种HP网络(HyperPe⁃tersenNetwork)。因为HP网络有非常小的直径,所以有很好的通讯效率[2]。Ohring等把Hypercube与Petersen图做笛卡尔积，构造了一种FPQn,k网络并分析了其容错性和可靠性,给出了路由算法[3]。刘宏英等[4]分析了RCP(n)互联网络并给出了基于该网络的组播路由算法。刘方爱等和邢长明等分别构造了RP(k)和RPC(k)互联网络并给出了对应的路由算法[5-7]。主要构造了一类基于广义Petersen图GP(n,k)的互联网络结构EGP(k3,k2,k)，并分析了EGP(k3,k2,k)的直径和良好的通信性能。

1预备知识

设G=(V,E)为简单连通无向图。对任意的u,v∈V(G),dG(u,v)表示G中(u-v)最短路的长度，在不引起混淆的情况下，简记为d(u,v)。对任意的v∈V(G)和S⊆V(G),顶点v到点集S的距离为d(v,S)=min{d(v,u)|u∈S}。对任意的S⊆V(G)和T⊆V(G),点集S到点集T的距离为d(S,T)=min{d(u,v)|u∈S,v∈T}。定义1设n和k为两个正整数，且n>2k，广义Petersen图P(n,k)共含有2n个顶点，其顶点集为V(P(n,k))={ui,wi|1≤i≤n}。边集为E(P(n,k))={uiui+1,uiwi,wiwi+k|1≤i≤n,下标模n}[8]。定义2设n,k,t为正整数，且n>2k,k>t，拓展的广义Petersen图(ExpendedGeneralizedPetersenGraphs)EGP(n,k,t)共含有2n个顶点，其顶点集为V(EGP(n,k,t))={ui,wi|1≤i≤n},边集为E(EGP(n,k,t))={uiui+1,uiwi,wiwi+k,wiwi+t|1≤ i ≤ n,下标模n}。EGP(n,k,t)的构造方法：对于P(n,t)，在顶点wi和wi+k间连接边，其中i=pt,0≤p≤éùnt且p为整数，下标模n。

2EGP(t3,t2,t)互联网络

讨论一类特殊的EGP(n,k,t)，即EGP(t3,t2,t)(t≥2)网络，设U=u0u1u2⋯ut3-1u0,W=w0wtw2t⋯wt3-tw0,T=w0wt2w2t2⋯wt3-t2w0。则U,W,T为EGP(t3,t2,t)的三个圈，t=3时的EGP(33,32,3)如图1所示。此时EGP(33,32,3)的三个圈U,W,T(如图2所示)具体为U=u0u1u2⋯u26u0,W=w0w3w6⋯w24w0,T=w0w9w18w0。引理1设v∈V(EGP(t3,t2,t))，则有d(v,U)≤1。引理2设v∈V(U)={u0,u1,...,ut3-1}，则有d(v,W)≤1+t/2。证明对任意v∈{u0,u1,...,ut3-1}，不妨设v=ukt+r(0≤k≤t2-1,0≤r≤t-1)。（1）若r≤t/2，取(ukt-ukt+r)路，P=uktukt+1ukt+2⋯ukt+r，则d(v,ukt)≤t/2，可得d(v,W)≤d(v,ukt)+d(ukt,wkt)≤t/2+1。（2）若r>t/2，取(ukt+r-u(k+1)t-1)路，P=ukt+rukt+r+1ukt+r+2⋯u(k+1)t，则d(v,u(k+1)t)≤t/2，可得d(v,W)≤d(v,u(k+1)t)+d(u(k+1)t,w(k+1)t)≤t/2+1，综上得证。引理3设v∈V(W)={w0,wt,w2t,⋯,wt3-t}，则有d(v,T)≤t/2。证明对任意v∈{w0,wt,w2t,⋯wt3-t}，不妨设v=wkt2+rt(0≤k≤t-1,0≤r≤t-1)。（1）若r≤t/2，取(wkt2-wkt2+rt)路，P=wkt2wkt2+twkt2+2t⋯wkt2+rt，则d(v,wkt2)≤t/2，故d(v,T)≤d(v,wkt2)≤t/2。（2）若r>t/2，取(wkt2+rt-w(k+1)t2)路，P=wkt2+rtwkt2+(r+1)twkt2+(r+2)t⋯w(k+1)t2，则d(v,w(k+1)t2)≤t-r≤t/2，故d(v,T)≤d(v,w(k+1)t2)≤t/2，综上得证。引理4设u,v∈V(T)={w0,wt2,w2t2,⋯,wt3-t2}，则有d(u,v)≤t/2。证明对任意u,v∈V(T)={w0,wt2,w2t2,⋯,wt3-t2}，不妨设u=wpt2,v=wqt2(0≤p,q≤t-1且p≤q)。（1）若q-p≤t/2，取(wpt2-wqt2)路，P=wpt2w(p+1)t2w(p+2)t2⋯wqt2，则d(u,v)≤q-p≤t/2。（2）若q-p>t/2，取(wqt2-wpt2)路，P=wqt2w(q+1)t2w(q+2)t2⋯wt3-t2w0wt2w2t2⋯wpt2，则d(u,v)≤[(t-1)-q]+(p+1)=t-(q-p)<t/2，综上得证。定理1对于任意不小于3的正整数t，EGP(t3,t2,t)网络的直径diam(EGP(t3,t2,t))=5êëúût2+4。证明对任意u,v∈V(EGP(t3,t2,t))，根据引理1，2，3，4可有d(u,v)≤d(u,U)+d(U,W)+d(W,T)+t/2+d(W,T)+d(U,W)+d(v,U)≤1+æèçöø÷êëúût2+1+êëúût2+êëúût2+æèçöø÷êëúût2+1+1=5êëúût2+4，故EGP(t3,t2,t)网络的直径diam(EGP(t3,t2,t))≤5êëúût2+4。另一方面，取u=wët2û，v=wët2ût2+ët2û，则d(u,v)=5êëúût2+4，故diam(EGP(t3,t2,t))≥5êëúût2+4，综上可有diam(EGP(t3,t2,t))=5êëúût2+4。通过表1，可以看到，EGP(k3,k2,k)网络与RPC(k)网络和RP(k)网络的性能比较，连接度是相同的，但网络直径更小，优于文献[5]中的RP(n)网络的直径，也优于[6]中的RPC(k)网络的直径。

3结论

在广义Petersen图的基础上进行扩展，通过对广义Petersen图的重构形成了EGP(k3,k2,k)网络。与其它基于Petersen图构造的并行计算机互联网络(如RPC(k)网络和RP(k)网络)相比，EGP(k3,k2,k)网络具有高度近正则性和小直径特点，特别是网络直径方面，阶为O(n3)，优于RPC(k)网络和RP(k)网络的O(n)阶网络直径值，表明构造的EGP(k3,k2,k)互联网络具有更好的通信性能。

作者：李文升 岳孟田 李同胜 冯志芳 单位：廊坊师范学院理学院