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数理统计教学中概念的解析范文

时间:2022-08-11 08:56:29

数理统计教学中概念的解析

1事件的独立性、对立事件及事件的互斥性

事件的独立性与对立事件是2个不同的概念,事件的独立性是对2个事件发生的条件而言,而事件的对立性是对2个事件的相互关系而言,并且这2个事件往往是同一试验条件下的2个事件。如果2个事件A与B满足P(AB)=P(A)P(B),称A与B相互独立。但在实际应用中往往不是按此定义来验证事件A与B的独立性,而是从事件的实际意义判断是否相互独立。通俗地理解,如果事件A的发生与事件B的发生相互无影响,则称A与B相互独立。例如2个工人分别在甲、乙2台车床上互不干扰地操作,则事件A={甲车床出次品}与事件B={乙车床出次品}是相互独立的。又如从有限总体中有放回抽取2次,2次抽取的有关事件也是相互独立的。而任一事件A,必有对立事件A,事件A与事件A有特殊关系:A+A=Ω,AA=覬。因为A发生,A必定不发生,所以A与A不可能是独立的。而对于两事件A与B独立,则一定有A.B;A.B;A.B。这3对事件也独立。这一性质称独立性对逆运算封闭,在解题中经常应用。事件的互斥性是指2个事件A与B不可能同时发生,即事件A与B的积事件是不可能事件,AB=覬,显然有P(AB)=0。例如某一时刻某人A={朝西走},B={朝东走},C={朝南走},D={朝北走},则B、C、D都是A的互斥事件。但都不是A的对立事件,A={某一时刻该人朝非西方向走}。故两互斥事件再加满足它们之和是必然事件才能够成对立事件。又例如A={收盘指数在2500点以下},B={收盘指数在2500点以上},则A、B是两互斥事件也是两对立事件。因此,两对立事件一定是两互斥事件;两互斥事件不一定是对立事件。事件的互斥性与两事件相互独立是2个不同概念,二者之间没有必然联系,但可以证明以下结论:若P(A)和P(B)都不为0,A与B独立圯A与B相容(不互斥),或A与B互斥圯A与B不独立。列举1例加深对这3个概念关系的理解。

例1.设每名机枪射击手击落飞机的概率都是0.2,若10名机枪射击手同时向一架飞机射击,问击落飞机的概率是多少?解:设事件Ai为第i名射手击落飞机(i=1,2,…,10),事件B为“击落飞机”。

2随机变量、离散型随机变量及连续型随机变量

随机变量的引入,使得对随机事件的研究转化为随机变量的研究,从而可以利用微积分来研究概率问题,处理问题更加方便,并能得出一些深刻的结果。笔者类比普通函数列表(表1)来学习这一概念。

类比函数中这些量的关系结构:x∈A。f:A→B。(fx)为A到B的函数。得出随机变量的定义:设随机试验E的样本空间为Ω,如果对于每一个x∈Ω,都有唯一的实数X(e)与之对应,则称X=X(e)为随机变量。因而随机变量与函数在本质上是一致的,都是描述2个集合之间的一一对应关系。随机变量把试验每个可能的结果和1个实数对应起来,把个事件转化为实轴上的点,简单地说就是事件的数量化。列举实例加以说明。

例如考察新生儿性别试验,它有出现女孩(G)与出现男孩(B)2种可能结果,为了便于研究,将每个实验结果用1个实数表示。用数1代表出现(B),用0代表出现(G),建立这种数量化关系,实际上相当于引入1个变量X,对于试验的2个结果,将X的值分别规定为0和1,这样变量X随着试验的不同结果取不同的值。如果与试验的样本空间联系起来,Ω={e}={B,G},则对应样本空间的不同元素,变量X取不同值,因而X可以看成是定义在样本空间上的函数。因此,随机变量与普通函数之间有下列区别:①随机变量的取值是随试验结果而定,随机变量是因变量,是随机事件的函数。因此它的取值是随机的,如上例中,“出现B”取值为1,“出现G”取值为0,不能事先确定,但知道它所有可能取值。②随机变量取值依赖于试验结果,而试验结果的出现具有概率,因而随机变量的取值也具有概率。这是随机变量与普通函数的根本区别。③普通函数是定义在实数轴上,而随机变量是定义在样本空间上,样本空间的元素不一定是实数。而教材主要研究离散型和连续型这2种随机变量。现对这2种随机变量的区别加以说明:①离散型随机变量是定义在可数的样本空间上的,Ω={k|k=0,1,2…}对样本空间上的每一点都有概率(PkP{X=k}=Pk);而连续型随机变量是定义在不可数的样本空间上,随机变量X取任一实数的概率都是0(P{X=x}=0),因而不可能事件的概率为0,这个命题成立,其逆命题,概率为0的事件是不可能事件不真。②2种随机变量的分布函数定义是一致的(均为F(x)=P{X≤x});离散型随机变量分布函数是阶梯曲线,它在随机变量X的可能取值点处发生跳跃,跳跃的高度等于相应点处的概率,而连续型随机变量分布函数的图像是连续的曲线。③离散型随机变量一般用概率分布律来描述变量的分布情况,使用分布律来刻画其取值规律比用分布函数更方便、直观。而连续型随机变量用它的概率密度函数来描述它的分布更为直观。④存在非离散也非连续型的随机变量。

例2.设长途电话一次通话的持续时间X(以分钟计)的分布函数为:该处随机变量x的分布函数F(x)既非阶梯函数也非连续函数,所以x既不是离散型随机变量也不是连续型随机变量。

3随机变量的独立性与不相关性及事件的独立性

随机变量的独立性是从分布上来说的,而事件的独立性是从概率意义上来定义。随机变量X与Y相互独立圳X与Y的联合分布函数等于两边缘分布函数的乘积。但在实际应用中一般用以下2个结论。结论1:对于离散型随机变量X与Y相互独立的充要条件是联合分布等于两边缘分布的乘积。因此,由事件的相互独立性知Pij=Pi.P.j(i,j=0,1),故ξ,η相互独立。

4大数定律与中心极限定理

大数定律与中心极限定理是概率统计这门课程中极重要的2个定理,也是很多实际应用的理论基础。同时这2个定理也是学生们感到难理解的部分。笔者在教学中详细阐述了定理的内容之后,总结了直观意义,大数定律主要说明的是n个随机变量的均值随着n趋于无穷大的极限为其数学期望,其实在现实生活中人们很多做法有意无意地利用到大数定律。例如人们经常把某个量反复测量后取平均值来作为真实值,而不是只用1次观察值。中心极限定理则解释了随机变量和n趋于无穷大时的分布服从或近似服从正态分布。例如城市1d的用水(电)量是由许多家庭的用水(电)量之和,由中心极限定理知道它们近似服从正态分布。

5结语

概率统计内容中有很多重要概念,只有真正掌握好概念及概念之间的联系才有可能把概率理论理解好、应用好。对于概念的学习不能仅停留在数学形式的表达上,更要理解其内涵和直观意义,知道它们产生的背景和源头,才会明确其应用对象。

作者:刘金容单位:海南大学信息科学技术学院数学系

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