数学研究生课程设置统计分析范文

课程设置既是研究生进行课程学习的知识载体，学生科研创新能力培养中基本知识和基本方法的传承和发展，也直接制约着培养目标的实现。课程设置还是学科点自主实现学科持续发展的主体作用的体现，关注研究生课程设置与建设是当前的热点话题之一。2014年12月教育部公布了关于改进和加强研究生课程建设的意见[1]，要求“把培养目标和学位要求作为课程体系设计的根本依据。完整贯彻本学科研究生培养目标和学位要求，重视课程体系的系统设计和整体优化。坚持以能力培养为核心、以创新能力培养为重点，拓宽知识基础......”。2015年1月27日，总理在与科教文卫体的代表座谈时谈到“刚才为什么我要问纯数学？我们要搞原始创新，就必须更加重视基础研究，没有扎实的基础研究，就不可能有原始创新”[2]。与一般研究研究生公共数学[3]或者数学二级学科[4]的课程体系不同，本文主要关注数学学科本身的课程设置问题。通过调研我国19个大学数学一级学科下，各个培养单位自主设置基础数学、应用数学、计算数学、概率论与数理统计和运筹学与控制论共五个二级学科下开设专业课程的现状，进行可视化统计分析。把各个高校开设的共性课程与哈佛大学、加州大学伯克利分校的数学课程进行对比分析。课程统计分析结果可以为数学学科硕士研究生培养方案修（制）订提供参考，也可供理工类学科选修数学课程参考。

一、数学学科课程开设频数可视化分析

课程数据来自于19个高等学校：北京大学（PKU），北京工业大学（PKU），北京航空航天大学（BAUU），北京交通大学（BJTU），北京科技大学（USTB），复旦大学（FDU），哈尔滨工业大学（HIT），华东理工大学（ECUST），武汉理工大学（WUT），上海交通大学（SJTU），西安交通大学（XJTU），兰州大学（LZU），武汉大学（WHU），吉林大学（JLU），南京大学（NJU），四川大学（SCU），南开大学（NKU），浙江大学（ZJU），山东大学（SDU）。括号中的学校简称用于课程设置信息可视化图形绘制（如图1）。所选的19所高校中包括北京大学等国家重点学科院校8个。由于本次统计分析主要面向综合类或者理工类院校，所以没有纳入师范类院校。

根据各个学校公开的培养方案中的选修课和必修课进行统计，把课程名称非常接近的课程合并为同一个课程名称,比如“代数几何初步”并入“代数几何”，“算法分析与设计”并入“算法设计与分析”，“现代分析基础”并入“现代分析引论”，“小波分析及应用”并入“小波分析”，“有限元的数学理论”并入“有限元方法”，“随机信号处理”并入“随机信号分析”，“最优化计算方法”并入“最优化理论与算法”，“矩阵分析”并入“矩阵分析与计算”等。在合并之后，这19所高校的开设课程之和多达664门，采用信息可视化软件Gephi,绘制出这19所高校及其数学学科开设课程交叉关系图（图1）。图1中，学校和课程都采用代码表示，每门课程对应一个小圆点（结点），每所学校对应于一大圆点（结点），将学校与其所开设课程通过直线相连。若同一门课程的开设学校多于一个，则此结点与多个学校相关联，并且这类多个学校关联的结点一般都布局在比较靠近中心的位置。若某个结点仅与某个高校关联，则说明此课程为这个学校特色课程。从图1可以看出，ZJU，BJTU，LZU，SDU，PKU，NKU，FDU都开设了较多特色课程。从高校角度看，这19所高校中，各个高校开设课程数量如图2所示，其中开课最多的是复旦大学158门，最少的是华东理工大学26门。从课程角度看，664门课程中，有447门课程仅有一个学校开设，有118门课程获得了3个或者3个以上学校开设。而获得7个或者7个以上学校开设的课程仅有28门,如表1所示。表1中的课程代码体现在图1中。可见表1所列出的28门课程获得比较多高校的重视，可以认为是数学学科的关键课程集。根据开设课程的频数和相关排序，从表1还可以归纳出以下几个结论。

（1）相对公认的最关键课程是泛函分析、动力系统、随机过程，这也是近些年来数学学科各个分支方向的热门课程。（2）数值计算、最优化方法、统计分析等基本数学技术与动力系统、小波分析、有限元方法等前沿课程代表的先进方法在数学学科获得同等重要的地位，在28门课程中的次序不相上下，所占比例也比较接近。（3）纯数学课程保持了相当的比例。数学作为学科自我发展的纯数学方向的课程，比如代数拓扑、交换代数、黎曼几何、代数学、拓扑学、微分几何等都得到了重点关注。

二、依据开设课程相关性的高校聚类

由于课程数目多达到664门，而各个高校开设课程数量相对于这个数字而言只能是小比例，以其中的关键课程或者热门课程为基础进行聚类分析。我们先给出数据统计分析方法的基本描述。第（ii=1,2,…,19）个学校关于n门课程开设状态用一个n维的向量xi=（c1,c2…,cn）表示,其中cj（j=1,2,…,n）为0-1变量，cj=0表示该学校未开设第j门课程，否则cj=1。将两所学校A和B之间相关距离定义为d=1-r2，即实数1与相关系数r的平方的差。两所学校相关系数绝对值越高，这两所学校的距离就越短。采用R语言的iGraph软件包编程实现聚类分析。其中聚类算法采用力导引布局的FR算法，输入这19个学校的相关距离矩阵，绘制出聚类结果图。为了让图像更加简洁地体现聚类效果，仅画出相关距离小于0.9的聚类结果。绘图中边的长度与A和B之间的相关距离相对应。取表1中排序前15（n=15）门关键课程进行可视分析，从图3(a)可以看出，在相关距离小于0.9的水平上，19个学校可以分为六个类：第一类是北京大学、四川大学、武汉大学、华东理工大学、武汉理工大学；第二类是兰州大学、山东大学；第三类是浙江大学、南京大学、北京科技大学、上海交通大学和北京航空航天大学；第四类是哈尔滨工业大学、北京交通大学、北京工业大学；第五类是西安交通大学、南开大学和吉林大学；第六类是复旦大学。这个聚类是按照这15门课程的开设情况作出的，能够从课程设置方面体现出一些异同之处。如果需要找出更深层次的信息，需要结合各个学校的培养目标进行分析。若重点考虑其中至少有6个或者6个以上学校开设的课程，则有37门（n=37），这37门课程为基础进行聚类分析。由FR算法可以绘制聚类结果如图3（b）所示。与图3（a）相比较，聚类结果有些变化，比如学校被分为8类，其原因是向量维数增加，0分量的个数增加，学校之间的相关性削弱，从而相关距离增加。

三、关键数学课程的中美比较分析

哈佛大学数学系的数学课程[5]中包含在表1中28门课程的是复分析、代数拓扑、代数学、李群和李代数、微分几何等5门。面向研究生开设的课程有32门，其中有代数K-理论和流形拓扑、算术统计专题、代数几何中的相交理论、结的代数不变量等12门新课程，这些新的课程与学科的新进展、当前社会和科技新需求紧密结合。学校还开设了供研究生与本科生同修的数学课程30门，包括一些经典的数学课程，比如泛函分析、动力系统、组合论、线性代数及其应用、概率论等。在这30门课程中开设了统计软件的数学基础等5门新课程。新课程的开设以及研究生与本科生大量课程的同修是哈佛大学数学系与国内课程设置上的两个不同点。加州大学伯克利分校数学学科研究生课程65门[6]，其中在表1的课程有8门课程，分别是动力系统，偏微分方程，代数拓扑，矩阵分析与计算，黎曼几何，调和分析，微分方程数值解,李群。65门课程中包含数学课程热点话题、代数专题、拓扑专题、微分几何专题等特色课程，其授课内容是由任课教师自主选定的各个方向的高级话题，因此其内容因时因人而有所变化。对比这两所学校的开设课程与表1的关键课程表，可以看出，哈佛大学和加州大学伯克利分校的应用类课程如小波分析、有限元方法、时间序列等课程没有开设，它们主要通过一些专题课程形式来教授应用、前沿、热点知识。

四、对自主设置课程的思考与建议

本文对我国19个大学的数学类硕士学位一级学科下自主开设专业课程的现状进行统计分析，得出如下结论：

1.各个学校开设的数学专业课程数量差异较大，多的150余门，少的20多门；各个高校课程交叉形成的关键课程28门，其中泛函分析,动力系统，偏微分方程，小波分析，复分析,有限元方法，组合优化，最优化理论，多元统计获得半数以上高校开设；根据各个高校课程交叉的特征对各个高校进行聚类，能够直观分析各个高校的聚类特征和特色课程；交叉课程基数越大，聚类越分散。

2.基于哈佛大学与加州伯克利分校数学课程，可以看出国外高校在分析、几何、代数三大传统方向的基础课与所列出的国内28门关键课程有较大的交集，而应用类课程交集不明显。

3.自主开设一些前沿类、热点类研究生课程或者专题讲座，是符合目前国内外名校课程设置的通行方式。除了参考本文课程设置的统计分析结果，各个高校在修(制)订专业培养方案时还应该结合培养目标[7]、学科系统性[8]以及各学科点的办学特色，研究课程设置，为人才培养质量的提高制定可行的方案。

作者：李红军 滕鹏举 张年超 张阳阳 单位：北京林业大学理学院