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谈课程思政之定积分的实践教学设计

2021/11/24 阅读:

摘要:本文对课程思政之定积分的应用进行了教学设计,并通过案例进行了分析。

关键词课程思政;定积分的应用;教学设计

定积分的应用(一)教学目的、要求:(1)巩固定积分的几何意义及计算;(2)掌握用定积分(微元法)求直角坐标系下平面图形面积的方法;(3)综合运用知识分析解决问题,培养学生思维能力和应用数学的能力;(4)通过引导学生观察、思考、总结,培养学生的数学思维及逻辑推理能力,进一步提高学生的数学素养,提高学生利用数学解决实际问题的能力。教学重点:(1)微元法的基本思想和步骤;(2)利用定积分求解平面图形的面积。教学难点:(1)微元法的理解;(2)适当选择积分变量利用定积分求解平面图形的面积。教学方法:分组讨论法、讲练结合法、行为引导法、分层教学法。课前准备:学习通上上传数学家牛顿、莱布尼兹等数学家的简介及在微积分领域、微元法的研究和贡献。课堂教学程序:(1)分组讨论线上预习视频:数学家莱布尼兹和牛顿的在微积分中的研究简介、微元法简介;(2)介绍用定积分的几何意义、微元法求解求平面图形面积的方法及公式;(3)举例;(4)课堂讨论、小结;(5)线上线下作业布置。

1分组讨论预习内容

同学们分组讨论学习通中观看视频会对微积分、微元法的理解,以及对两位数学家的评价。课程思政元素:莱布尼茨与牛顿流数术的运动背景不同,莱布尼茨对微积分的研究是从几何方面进行的,他在研究不规则曲线的切线和不规则曲线所围的面积时开始了对微积分的研究。我们现在使用的积分符号就是求和“sum”的首写字母“S”拉长后得到的。除此之外,还有很多数学符号都是莱布尼茨引入的,如微积分中的dx、dy等符号,这些符号简洁、方便,一直沿用至今。尽管牛顿与莱布尼茨各自从不同的方向创立了微积分但殊途同归,他们对微积分的创立和现代数学的发展做出了巨大的贡献,在优先权问题上我们不做过多评价和论述,我们认为他们的贡献是相同的。要以开放、包容的心态去看待事物,在待人接物时要有一颗海纳百川的心。

2定积分应用的引入

创设情境,引出新课。用多媒体展示多张图片抛出问题:拱形桥桥面的面积?不规则湖泊及田地的占地面积?课程思政元素:通过以上问题,让学生体会到数学和我的生活息息相关,无时无刻不存在我的生产生活中,让学生感受所学知识定积分的实际意义和作用,让学生体会到数学的巨大作用及魅力,激发学生对本次课以及《微积分》的兴趣,提高同学的学习热情。利用以上实例,引导学生学会把理论知识和实际问题联系起来,再引出本节课的课题:定积分的应用———用微元法解决平面图形的面积。

3定积分的微元法

在本章第一节定积分的定义中,采用了“分割(化整为零)、取近似(以直代曲)、求和(积零为整)、取极限(精确化)”的方法,从而求得了曲边梯形的面积。事实上,除了求解曲边梯形的面积,还有很多几何量和物理量都可以利用这种思想方法去求解。微元法求解步骤:(1)选择合适的积分变量;(2)求微分:找出量Q在任一小区间x,x+[dx]上部分量ΔQ的近似值dQ,得到积分微元:dQ=f(x)dx;(3)求积分:整体量Q就是部分量dQ在区间a,[b]的定积分,从而得到整体量的积分表达式:Q=∫baf(x)dx。利用微元法解决曲边梯形面积问题的方法如图1:区间的面积微元dS=f(x)dx;所以S=∫baf(x)dx。课程思政元素:微元法的数学思想可以概括为“分割(化整为零)、取近似(以直代曲)、求和(积零为整)、取极限(精确化)”。这个思想在多个科学领域都有涉及,无论是对学生的学习,还是对老师都有很大的启示,比如我在生活中学习中、在做作业的时候,碰到问题、碰到难题,当没有办法解决时,我可以尝试将大问题分解成若干个小问题,分步骤各个击破,先解决每一步的小问题,从而最终解决大问题。微元法让我知道,学术上、生活中很多复杂的问题都是由若干个简单的问题组合起来的,需要不断思考探索,利用所学的知识合理科学地去分解问题、解决问题。

4平面图形的面积的求法及举例

利用微元法或定积分的几何意义求平面图形的面积。例1:求曲线y=x2、直线x=1和x轴所围成平面图形的面积?解:如图所示,取x为积分变量,积分区间为0,[1],则A=∫10x2dx=13(1)取x为积分变量,积分区间为0,[1],A=∫10(槡x-x2)dx=16(2)取y为积分变量,积分区间为0,[1],A=∫10(槡y-y2)dy=16说明:此题既可以选择x作为积分变量,也可以选择y作为积分变量。例3:求曲线y=x2、直线y=2x+3所围成平面图形的面积?例4:求曲线y=x3、直线y=6及x=0所围成平面图形的面积?让学生自己分析练习以上例题3和例题4:(1)学生根据例题探究的过程来归纳解题思路及过程;(2)教师简单点评,帮助学生修改、提炼,强调注意要根据积分变量的选择把函数变形成用x表示y的函数或用y表示成x的函数;(3)也可以使用“微元法”求以上例题的面积。课程思政元素:为什么无界区域的面积确是一个定值呢?这个结果肯定让在座的同学都感到惊讶,在我的认知中,无界区域的面积应该是无穷大的,为什么无界区域的面积确是一个定值呢?这会引发同学的讨论和争论,活跃了课堂气氛并很大程度地激发了同学的学习兴趣。此时数学的奇异美展现在同学面前;数学的辩证美展现在同学面前。此时教师自然而然地说:学习《微积分》不仅仅是因为开了这门课,为了学习而学习,更不是为了期末考试,重要的是让同学体会到数学的魅力,体会数学的美好,帮助同学提高分析问题和解决问题的能力……在我平时的工作、生活和学习中,我可以将很多事情看成是一个“反常积分”,我往往认为某件事情凭我自己的能力是无法完成的,但实际上只要找对方法,我是有这个能力去很好地解决这些问题的。“反常积分”及无穷区域的面积为有限值这个问题不仅仅是存在于数学领域,在日常生活中我所面对的很多问题其实也一样。所以我平时做事情不能一味地靠主观判断,要学会用科学的、理性的思维方法去思考,要辩证地看问题,不能被事物的表象迷惑,不能以偏概全,不能轻易下结论,解决问题的方式既要创新,又要逻辑缜密。国内外很多知名的数学家同时也是哲学家,同学可以多读读数学家的传记,例如,大家课前预习视频中的牛顿、莱布尼兹、亚里士多德、笛卡尔等,我所学的数学知识,比如定积分都不是凭空产生的,都是来自于实际生产生活中的问题。所以同学在生活中要做个有心人,用心去体会生活、感受生活,要善于发现生产生活中的问题、再提炼问题、解决问题。

5课堂练习、思考、讨论

(1)分组阐述微元法思想?利用微元法解决问题的思路和步骤?(2)分组阐述求平面图形的面积的方法和步骤,需要注意的问题?(3)求曲线y2=x与x2+y2=2,(x>0)所围成的平面图形的面积?(4)求函数y=2xe-x在0,[2]上的平均值?

6结论

(1)微元法用于求区间a,[b]上不均匀可加量,主要步骤为:①局部求“微元”;②整体求“积分”。(2)适当选择积分变量利用微元法解决平面图形的面积问题。最后,在线上、线下作业布置。

作者:董培佩 单位:武昌工学院人工智能学院

谈课程思政之定积分的实践教学设计

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