角概念的再认识及教学策略范文

摘要：数学中的“角”将学生的思维从一维拓宽到二维，为了使学生更好地学习，教材特意将“角知识”分布在两个学段，形成知识螺旋。通过对角概念的再认识，提出了角概念的四个教学策略，有利于提高教学效果。

关键词：知识螺旋；角概念；角教学

小学数学教材多次出现知识螺旋的内容，同类知识编排在不同的年级学习，是为了学生更好地理解与掌握。“角”就是这样一个知识，这样的安排，是考虑到小学生的认知发展正处于初步逻辑思维期，即从表象性思维的概念化活动逐步过渡到概念性思维的阶段。数学中的“角”将学生的思维从一维拓宽到二维。学生学习这个内容，是对“生活中的角”（如：角落，牛角）认知上的一种数学化剥离，也是学生进一步认识平面几何、立体几何乃至理解数学、认识世界迈出的重大一步。然而在教学实践中，我们经常看到角教学中存在一些问题：有些教师重视角的结构特征，却忽视角概念的作用与价值，以至于学生对角的认识不够到位；有些教师对教材呈现的两种定义理解不深，以至于学生对角的认识不够全面。那么，教师该如何帮助学生准确地理解“角概念”？如何高效地研究“角教学”呢？

1角概念的本质含义

1.1角的定义

教材对“角”进行了如下两种定义：（1）定义一：从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。（2）定义二：角可以看作由一条射线绕着它的端点，从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。我们不难看出：定义一是从角的“结构特征”引发的，我们称之为“静态定义”；而定义二则是从“旋转运动”引发的，我们称之为“动态定义”。这两种定义均采用发生式定义方式，阐述的纬度虽不同，但都紧紧抓住角的本质内涵进行阐述。角的定义还有很多，我们又找到了如下几种定义：（1）角是由两条公共端点的射线所组成的图形（浙教版《七年级数学》）。（2）称图形为角，角由两条线段所夹部分组成，这两条线段的一个端点重合；称这两条线段为角的边，角的大小与边长无关（史宁中）。（3）平面角是在一平面内但不在一条直线上的两条相交线相互的倾斜度（欧几里得《几何原本》）。为什么小学教材不选用这些定义进行描述呢？我们认为定义（1）的思维起点是射线，关注的是两条射线的一种特殊位置关系———具有公共端点，这是一种比较高阶的思维。相较而言，教材选用的定义一突出从“点”引发“射线”的序，一方面把射线分解成“点”和“线”，另一方向突出了射线的形成过程，这样就显得更加细腻，也更适合小学生的年龄特点和心理需求。定义（2）着眼于“线段”，关注的是“所夹部分”，虽说明角的大小与边长无关，但以“射线”作为素材应该更为简约。定义（3）站在“平面角”的高度来诠释角，对于小学生来讲太过抽象。基于以上对比，我们认为教材给出的两种定义更符合小学生的年龄特点和认知水平。静态定义能很好的呈现角的形成和构造，动态定义则拓宽了学生认识事物的眼界，这是上述几种定义无法比拟的———射线在绕端点旋转运动的过程中，学生对图形的感知从一纬拓宽至二维，改变了以往静态识图的经验；这种运动引发了角大小的变化，形成了许多不同的角，所有的角都可以在这个运动中定格。这样，两种定义相互作用，以“静”智“动”，促学生智力的提升，更利于他们全面的认识、理解和掌握角的本质。

1.2角概念的呈现角的概念

第一次呈现是在二年级上册：“角是由一个顶点，两条直直的边组成”。虽然没有给出明确的定义，但学生通过观察、操作、寻找等活动，已经朦胧地建立了角的概念，这种概念是建立在具体之上的抽象。数学来源于生活，又高于生活，学生能够区分生活中的角和数学中的角了。与此同时，这部分内容的学习也为四年级再认识角积累了一定的数学活动经验。角的概念正式呈现是在四年级上册，静态定义出现在学生学习了“线段、射线、直线”之后。借助该定义，学生就能站在数学的角度来解释“为什么角的两边需是直直的？为什么角的大小跟两边长短无关？”因为角的两边是射线。由此可见，角的大小原来也是立足于角的概念的。如此迂回教学，螺旋上升，概念升华，符合小学生的认知发展规律。动态定义出现在“角的分类”一课中，是为引出平角和周角的概念铺设的。此定义打破了静态定义的局限，是对静态识角的一种突破和重构，是学生理解和构建角的概念的一种高度抽象，并抽取出概念的本质。

2角概念的教学策略

在研究角教学之前，我们有必要先对“角教材”进行梳理。我们看到，角概念遍布于角教学的各个环节，站在角概念的高度来指导角教学，可以起到事半功倍的效果。深读教材，我们发现教材在两个学段主要设置了“识角”和“画角”这两个趋同任务，且编排时具有形式上的相似性和知识上的递进性。我们认为，它们是学生理解“角概念”，掌握“角知识”最重要的载体。那么，怎样才能凸显角概念的本质，使角的教学更显张力呢？

2.1策略一：站位静态定义，让“指”成为学生初步识角的强化剂

学生初步认识的角是从物体中“抽象”出来的，教师应该及时引导他们“指一指”，顺序如下：“一个顶点（手指顶点），两条边（手从顶点出发，一条边一条边地指）。”在这样的找角、说角的过程中，“说”与“做”相结合，语言与概念互渗透，角的静态定义自然渗透，角的各部分名称不断强化，自动化，直至内化，悄然无声。我们认为，这种指角、说角的活动不应成为第一课的专用，且需要经常使用。学生初学直角、锐角、钝角时，需要学生“指一指”；学生在画完角后，也需要学生“指一指”。这样处理，借助“指”的动作思考和“说”的发声思考，采用多元表征来完善学生对角知识的建构。我们认为，“指”角活动适用于以直观形象思维为主的低年级学生，在指的动作中，学生能较直观地认识角的“结构特征”；在指的顺序中，学生初步建立了角的概念。当然，“指”这个活动应该贯穿于第一学段，以此来达到学生对角概念的动作建构和意义上的初步理解。

2.2策略二：站位静态定义，让初步画角的技能有章可循

第一学段，教师可以按指角的顺序指导学生画角：“先画一个点（作为角的顶点），再画一条线（作为角的一条边），在另一个方向上画一条线（作为角的另一条边）。”画角技能的背后，折射的就是角的静态定义。通过课前访谈，许多学生能借助三角尺画角，但其画的步骤各不相同：有的学生没画顶点，有的学生画边的顺序倒置。因此，在课堂上，教师应该站在静态定义的高度来指导学生画角的技能，意义重大。我们认为，这样处理将概念本质与操作形式紧密地结合起来，借以概念促技能的达成，并以技能强化概念的理解，两者相辅相成，互助互利。

2.3策略三：站位动态定义，提升学生对“角标记”的认识教材

在第一学段只编排了“直角标记”，但锐角和钝角的标记（角两边之间的弧线）第一次出现却在第二学段（静态定义呈现时）。那么，教师该怎样认清“角标记”的本质呢？我们认为，角标记是角概念不可或缺的一部分，理解角标记有助于学生更全面地理解角概念。学生在学习静态定义之后，教师可以引导学生这么理解，“从一点引出两条射线所组成的图形叫做角”，而这条弧线（角标记）正好是“两条边和一个顶点组合的产物”；在学习动态定义之后，教师可以让学生理解角可以看作由一条射线绕着它的端点，从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。为此，锐角、钝角的标记不一定非得用弧线，带箭头的弧线更能看出这个角的形成过程，即从哪个“起始位置”旋转到哪个“结束位置”。基于这样的定位，我们认为用带箭头的弧线作角标记不仅适用于平角和周角，而且还适用于其它类型的角，对于拥有这个知识层级的孩子来讲，也是能够理解的。

2.4策略四：站位动态定义，突破量角器画角的教学瓶颈

众所周知，用量角器画角是学生操作技能上的难点，主要体现在角的“终边”画错。分析错误原因，其根源是学生没有掌握好量角器读数的技能。如：读内圈还是外圈不清？比整十多2°还是少2°不明？那么，怎样帮助这些学生度过难关？我们认为，站在“动态定义”的高度来帮助认识、理解、使用量角器，可以很好地帮助学生形成正确读数技能，掌握准确画角的方法。“角可以看作由一条射线绕着它的端点，从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。”在教学读数时，教师就应该强调其“开始位置”，即0°刻度线，然后沿着旋转方向依次寻找———可能是顺时针，也可能是逆时针，只要从0°开始由小到大，就能准确找到“结束位置”所在的刻度。掌握了读数技能，画角的难点自然迎刃而解。我们认为，这样处理，其实就是把“隐性”的操作步骤“显现化”，把动态的定义具体化，有利于帮助学生建构正确的操作技能。通过对教材螺旋式编排的解读，我们对不同的学段出现的”角知识”有了更深入地理解。以“静”智“动”，体现了教材在编排上的坡度，激发学生智力上的提升。梳理知识间的脉络，理清知识间的关系，站位“角概念”，研究“角教学”，用后继的数学概念指导着“识角”和“画角”等教学活动，我们似乎有一种高瞻远瞩的感觉。在概念的指引下，教学活动变得有的放矢，学习活动变得紧密有序，学生可以在严密的数学知识链中更好地畅游。

参考文献

[1]王春阳.教材螺旋式编排的分类及学习对策[J].化学教与学，2014（10）：54-55

[2]傅琳.发生式定义的概念教学初探[J].上海中学数学，2016（10）：44-46.

作者：朱孟迪 单位：慈溪市崇寿镇中心小学