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投影平面变换求解空间研究

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《图学学报》2016年第二期

摘要:

在画法几何中,投影平面变换可以改变空间几何元素相对于投影面的位置,使新投影更有利于解题。在静力学中,力矢量可以用直线段表示,空间任意力系的平衡问题可转化成直线之间的图示和图解,文章试图将投影平面变换的优点结合到空间任意力系的平衡求解中,使问题得到直观地解决。以CAD为作图工具并以编程为辅,以保证作图的精度和速度,为求解空间任意力系提供了一种实用有效的方法。

关键词:

投影平面变换;CAD;空间力系;力系平衡

有关图解静力学的研究历史悠远,可追溯到阿基米德利用支点思考平衡问题,达芬奇试图用图示方式思考力学问题,再到荷兰的西蒙斯蒂芬利用绳索研究力学关系。经历数代人的努力,德国的卡尔•库尔曼教授于1864年出版了DieGraphischeStatik,为图解静力学奠定了基础。但前人的工作只局限于将图解法展示出来,图解过程中的速度和精度问题还是没有解决,因此实际应用较少。本文将图解法与解析法相结合,利用计算机编程来解决空间任意力系问题,目的是保存图解的直观性,克服手工作图精度差且速度慢的缺点,使图解成为一种实用方法。本文为图解静力学与计算机结合方面的发展提供了新的方向。

1空间任意力系的图解

静力学的基本物理量有3个:力、力偶和力矩。静力学是力学的一个分支,其主要研究物体在力的作用下处于平衡的规律,以及如何建立各种力系的平衡条件[1]。力可以用带有方向的线段表示,用图解法求解空间力系问题,会遇到直线之间的各种度量与定位的作图以及求解直线段的实长、投影长、坐标差、方向角的图解关系[2]。为说明问题,对下述实例分别以图解法和解析法展开讨论。如图1所示,一段刚性管子ABCD,在转角C处悬挂质量为200kg的载荷。管子有点A和点D的球形铰链支承,其分别紧固在地板和垂直墙面上,另管子还用连接管子BC段中点E和墙上一点G的绳索拉着[3]。用图解的方法求绳索内张力最小点G的位置及对应的最小张力值(忽略管子质量)。(1)根据图1所示的尺寸,画出AB、BC、CD各杆及E点和重量W的投影图,如图2所示,画图比例为1∶10。(2)将A、D连线作为一条轴线,以便图解悬挂物重量W、拉力T对此轴线的矩。而A、D两点的约束力因过此轴而不产生对此轴的矩。(3)二次投影变换将AD轴线变换为投影面的垂直线,铅垂线W和点E也随之变换,并在图中标注出重力线W的投影长为w2=146.24,E点的投影e2,AD线积聚性投影a2d2与e2之间的距离200及a2d2到w2(重力线W的投影)的距离178.89,如图3所示。

2一般位置直线变换成投影面的垂直线数学模型的建立

在二次投影变换中,将AD轴线变换为投影面的垂直线,其作图方法简化了问题的求解过程,对于含有力对轴的矩静力学问题,这一投影变换方法具有一般性。为了用计算机作为图解工具,以达到精确、高速并不失直观性,建立将一般位置直线投影变换为投影面垂直线的数学模型,作为编写求解含有力对轴的矩静力学问题程序的基本方法。

3空间任意力系实例解析计算与图解法的比较

为了说明图解法的优点,上述问题的解析过程描述如下:图6为管子的受力图,包括载荷W=-(1962N)j,以及点A、D的约束力和绳索拉力T。为了在计算中排除点A、D的约束力,对AD求力矩之和。用表示沿AD的单位矢量。由此可见,解析法主要是以矢量为工具的逻辑思维方法,图解法是以形、数、计算机结合为工具的逻辑思维和形象思维综合的方法[5],且图解法是在AutoCAD2014的环境下作的,其精度取决于计算机的运算能力以及所使用的程序语言的特点决定[6],AutoCAD2014的精度可达小数点后八位,其准确程度高于解析法[7]。在计算机编程的帮助下,图解效率得到了大大提升。在图解中跟踪作图进行数学分析,使得解题过程非常直观,容易形成对问题的空间理解和思考,只需通过一定的变换即可得出最终的结果,避免了单纯使用解析法所带来的计算复杂、容易出错等问题,因此提倡尽可能地把形、数、计算机结合起来,不但提高了精度,而且使问题的解决更加简单。

4结束语

本文建立了一般位置直线变换成投影面的垂直线数学模型,运用编程求解空间任意力系问题,展示了力学问题解决方法的多元化,图解法与计算机结合为特定的问题寻求了更加快捷的方法。图解静力学发展历史悠久,但进展缓慢,在实用性方面明显不足。随着科技的发展,计算机与图形的结合无疑为图解静力学提供了新的发展契机,逐渐在各方面都体现出了优越性[8],但是要将图解静力学等相关理论完全运用到工程实际中,还有一定的差距,在今后的研究中,需将整个系统更加系统化,甚至可以开发相关软件,方便业内人士的查阅,以建立完善的图解体系。

参考文献

[1]林大钧.实验工程制图[M].北京:化学工业出版社,2009:38-42.

[2]朱辉.画法几何及工程制图[M].上海:上海科学技术出版社,2007:34-41.

[3]比尔,约翰斯顿.工程矢量力学(静力学)[M].李俊峰,译.北京:机械工业出版社,2003:182-189.

[4]潘晓明,张勇,孔娟.非对称缓和曲线在AutoCAD中的开发与实现[J].图学学报,2010,31(3):193-196.

[5]黄毅.理论力学[M].北京:高等教育出版社,2009:28-49.

[6]左志远,李熙亚.基于AutoCAD2000的图解法的应用[J].东莞理工学院学报,2002,9(1):5-7.

[7]李熙亚,左志远,李奎山.换面法在求解空间汇交力系中的应用[J].东莞理工学院学报,2002,9(2):28-30.

[8]昂雪野,管莉娜,丁建梅.基于AutoCAD的阿基米德蜗杆参数化造型程序设计[J].图学学报,2010,31(3):27-31.

作者:杨梦红  林妹妹  王大伟 许佳平 单位:华东理工大学机械与动力工程学院

图学学报责任编辑:杨雪    阅读:人次