多策略行为不利于控制疾病传播范文

《复杂系统与复杂性科学杂志》2015年第三期

人们对传染病动力学的研究由来已久，最早可以追溯到1760年Bernoulli基于数学模型研究天花的预防接种问题。1927年Kermack和Mckendrick建立的SIR（Susceptible－Infected－Recovery）仓室模型及后来的SIS（Susceptible－Infected－Susceptible）仓室模型标志着对传染病动力学研究的开始，之后不同的传播模型被提出，如SI，SIRS，SEIR等传播模型。基于微分方程的传染病动力学模型蕴含着这样一种假设———人群是充分混合的，即每个个体和人群中的其他个体都有接触。现实中很多传染病只有通过和别人“接触”才可能被感染，如甲肝、流感、手足口病等。近年兴起的复杂网络理论为研究传染病动力学提供了新的思路，因为基于网络的传播模型可以更真实地刻画疾病在人群中的传播，这方面的研究已成为近年来科学研究的热点与焦点。

虽然关于网络上传染病动力学的研究已取得了长足的进步，但早期的研究集中关注网络结构和动力学两者之间的关系，而没有充分意识到人们在面对流行病时各种行为反应的影响。疾病的爆发一方面会引起个体层面的行为变化，如勤洗手、戴口罩、减少外出、断开和感染者的联系，另一方面又会引起群体层面的政策措施，如强制隔离、相应的政策补贴等，这些变化又反过来影响疾病预防的成败，因此关于这方面的研究最近越来越多。接种疫苗一直被认为是预防与控制疾病传播最行之有效的办法，然而在很多情况下，由于各种外界因素的影响，包括疫苗的成本、可能的副作用以及宗教信仰等，因此是否愿意接种疫苗往往是本着自愿原则的。在此情况下，理性的个体会权衡不同策略的优劣进而选择有利于自身的策略。但是对于个体而言最优的策略是否就是系统的最优策略呢？为了回答这个问题，学者利用演化博弈理论刻画个体在接种疫苗时面临的困境问题：选择接种意味着可能的疫苗风险和副作用，不选择接种意味着可能被疾病感染。进一步研究个体的不同行为对接种范围以及最终传播范围的影响。然而已有的研究往往假设个体在选择接种或者不接种的时候要么采取利益最大化策略，在此策略中个体通过比较接种的代价和不接种的代价，然后选择代价最小的策略；要么采取模仿学习机制，即每个个体以一定的概率模仿高收益邻居的策略。现实中个体的差异性可能导致不同的个体选择不同的更新策略，基于此，本文在复杂网络的框架下考虑个体的多策略行为———动态混合的学习策略对控制疾病的效果。在此模型中，个体既可以选择采取模仿学习策略也可以选择利益最大化策略，同时个体可以根据两种策略的代价差动态地在模仿学习策略和利益最大化策略之间转换。通过研究发现：虽然在这种机制下，个体有了更多的选择，但是相对于单纯的模仿策略而言，更多的选择机会并没有更有效地抑制疾病爆发，反而诱导更少的人采取接种，进而导致更大的传播范围。

1模型

考虑到流感等疾病是周期性爆发且疫苗的时效性是有限的，在每个流感来临之前个体需要决定是否接种，但是此次接种只能保证在接下来的传播季节不被感染，在下一次传播季节来临之前个体又要决定是否接种。所以在模型中我们假定接种和传播过程周期性进行。每个周期分为两个阶段：第一个阶段是接种阶段，在这个阶段，每个个体首先比较邻居中采取模仿策略的平均代价和利益最大化原则的平均代价决定自己采取的策略。当个体确定了自己的更新规则的时候，他就依据该规则决定接种还是不接种。如果接种则需要付出c的代价，这里的接种代价可以是多方面的，如花费，副作用，时间等。进一步假设个体采取接种以后，疫苗在当前季节是完全有效的，则在接下来的传播季节就不会被感染；第二个阶段是传播阶段，此阶段我们采用SIR传播模型来刻画疾病的传播过程，在这个阶段中，那些没有采取接种的个体可能面临两种结果：被感染，则付出代价I。不失一般性，令I＝1，通常假设接种代价0＜c≤1，若接种的代价c＞1，则没有必要采取接种；由于群体免疫的结果。

2主要结果

最近的研究表明，现实中很多网络的度分布并非满足泊松分布而是满足幂率分布：p（k）～k－γ，其中γ表示度的幂指数，这类网络称为无标度网络，如万维网，性接触网，科学家合作网等［3］。本文以3个典型的无标度网络和随机网络为例，研究网络上的传播行为。网络上的每个节点对应一个个体，如果两个节点之间有连边，那么感染者可以以一定的概率感染他的邻居。初始时刻在网络中等概率分配接种人数和不接种人数，也就是说接种者和不接种者大约各占50％。按照模型中的周期过程不断演化，直到系统达到稳定状态，统计稳态的接种比例和感染比例。本文取网络规模N＝4000，网络平均度〈k〉＝6，疾病沿着每条边的传播率λ＝0．18，恢复率μ＝0．25。也对其它参数的情况进行验证，均发现相同的结果。文中结果是在演化2000时间步达到稳态以后的最后1000时间步和系统的50次平均得到的。图2中在4类不同的网络模型上比较动态的混合策略与纯模仿策略对接种范围和疾病的最终传播范围的影响。从图2上栏（a，b，c，d）可以发现，总体而言，混合策略对于控制疾病的效果还不如纯模仿策略的效果好。为了解释这种现象，在图2的下栏中，比较了两种策略下接种范围随着接种代价的变化情况，从这些图（e，f，g，h）可以发现：动态混合策略比纯模仿策略的接种人数更少，因而导致疾病的爆发范围更广。从图2可以发现：对于混合策略而言，个体可以有更多的选择———采取模仿策略或者利益最大化原则，并且可以在这两种策略中转换，但是这种对个体更有利的局面并不意味着整个系统就是更优的，从而从另外一个层面反应了个体最优与群体最优之间的差异性。需要注意的是：如果仅仅考虑利益最大化策略，那么接种范围和感染人数会呈现很大的振荡，当疾病在一个季节大范围爆发的时候，那么会导致绝大多数人在接下来的策略选择阶段都采取接种，因而接下来的传播季节只有很少的人被感染，这样又只有很少的人采取接种又导致疾病的大范围传播，如此循环下去。因此系统无法达到稳态，所以我们不与单纯的利益最大化策略做比较。鉴于所得到的结果在不同网络具有普适性，接下来以度分布满足p（k）～k－3．0的无标度网络作为研究对象。在图3中考察动态混合策略下，疾病的传播比例（Finalepidemicfraction）、模仿者范围（Imitatorfraction）、利益最大化者范围（Maximizationfraction）、模仿策略中采取接种的范围（Vaccinatedimitatorfraction）以及利益最大化策略中采取接种的范围（Vaccinatedmaximizationfraction）随着接种代价c的变化。从图3可以发现，模仿策略者人数和利益最大化策略者总人数始终徘徊在0．5附近，与接种代价c的关系不是很密切，换句话说，没有某一种策略在人群中占据主导优势。同时采取模仿策略和利益最大化策略的接种人数也相当接近。从图2的下栏可以发现，混合策略的接种范围反而比纯模仿策略的接种范围要低，如何解释这种现象呢？对于纯模仿策略而言，由于大度节点被感染的可能更大，因此大度节点通过不断模仿学习最终会更倾向选择接种（如图4中的灰线所示），在纯模仿策略下，大度节点的策略往往会被他的“小度”邻居学习，因而导致总的接种范围相对较高。但是当引入利益最大化原则以后，从图3可以发现，由于网络中始终有接近50％的人采取利益最大化策略，由公式（4）可知，对度较小的节点而言，由于他们的感染风险代价较低，因此他们不倾向接种。另一方面，由于“小度”节点的邻居很少，他们即使不接种也不容易被感染，因此获取较高的收益。对于网络中剩下约50％的模仿者而言，由于无标度网络中“小度”节点占相当大的比例，因此模仿者很有可能选中这些“小度”节点且学习他们的不接种策略，最终导致接种人数低于纯模仿策略的人数。为了进一步证实我们的分析，图4中比较了动态混合策略和纯模仿策略中节点的接种比例与节点度k值的关系。通过图4可以发现，当节点度k较小时，纯模仿策略中的接种比例明显高于混合策略中的，随着节点度k的增加，混合策略中接种者人数逐渐增加并最终大于或等于纯模仿策略中的，这是由于度很大的时候，混合策略中那些利益最大化原则者更愿意采取接种。但是如前面所述，网络中“大度”节点的比例是相对少的，以图4a为例，当c＝0．5的时候，k＜9的节点约占整个网络规模的85％，而这些节点的接种比例小于纯模仿策略中的接种比例。因此整体而言，动态混合策略导致更少的人愿意接种，从而导致更大范围的传播。图4b对于c＝0．7的情况，k＜11的节点约占整个网络规模的96％。需要强调的是：以前的研究表明，目标免疫对于无标度网络上疾病传播控制效果非常明显［17］。那么是否会因为利益最大化中“大度”节点采取接种，即使很少的接种比例也可以有效控制疾病传播。通过比较图4可以发现，虽然动态混合策略中“大度”节点的接种概率更高，但是纯模仿策略的“大度”节点接种的概率也很高，而且“大度”节点数量很少，所以他们对抑制疾病传播的作用几乎可以相抵。公式（4）中的权重因子a对最终传播范围的影响如图5所示，随着a的增加，利益最大化者对疾病的风险认识越不足，越不愿意接种，因此导致传播范围越广。

3结论

考虑到人们在接种选择的时候，不同的人有可能会采取不同的学习方式进行策略更新，因此本文比较了两类不同的个体行为策略———动态混合策略和纯模仿策略，然后研究这两种策略对接种范围以及最终传播范围的影响。在动态混合策略中，个体可以通过权衡模仿策略和利益最大化策略的优劣动态调整自己的学习策略。显然，相比较于纯模仿策略，动态混合策略为个体提供了更多的选择空间，因此是对个体更优的策略，但是通过研究发现，对个体有利的策略并没有相应地给整个系统带来更高的收益，反而导致整体的传播范围比单纯的模仿策略更大。通过分析发现，在动态混合策略中，利益最大化策略会导致网络中大多数“小度”节点不愿意接种，这些不愿意接种的“小度”节点又进一步带动网络中的模仿者也不愿意采取接种，因而降低了网络中的接种范围并导致传播范围的相应增加。该研究从另外一个角度阐述了社会系统中个体最优和全局最优的矛盾性，因此如何设计好的措施，如政府补贴措施、正确的舆论向导等，减小个体最优和全局最优的差距，并提高总体收益是需要进一步深入的方向。

作者：王阳阳 阚佳倩 张海峰 单位：安徽大学数学科学学院