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伸缩变换群分析及自相似解探讨

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摘要:首先分析和探究带有增长、聚合和破损过程的群体平衡方程;其次把伸缩变换群法用于群体平衡方程,获得群体平衡方程所接受的伸缩变换群、自相似解、精确解和约化的常微分-积分方程;最后所获得结果表明伸缩变换群法不但可用于偏微分方程而且可用于偏微分-积分方程.

关键词:群体平衡方程;伸缩变换群法;自相似解

群体平衡[1]的概念对化学工程师、地球物理学家、物理学家、气象学家、生物物理学家等都很重要,其应用领域越来越广泛[1-3],如固体物的破损或粉碎过程、微生物和细胞种群的生长或死亡过程、聚合过程、结晶和沉淀过程、基因调控过程、分散相系统等.群体平衡方程[1-3]越来越成为一个重要的研究主题,由于它的应用领域涉及较多交叉学科[2],如环境和工程学、农业工程学、生物医学工程学、血液学、制药工程学、生物化学与分子生物学、形态结晶学、细胞生物学等.根据实际应用建立一个群体平衡方程并不困难,主要障碍是没有精确求解这些实体模型的能力和方法[4-5].由于群体平衡方程的高度非线性性和多样性以及代数项和积分项类型的复杂性,许多群体平衡方程都缺乏精确解,因此其求解技术只能借助于数值方法[1-3],如矩方法、差分方法等.目前,文献[2,4-5]给出了群体平衡方程的最新应用领域和近几年的求解技术及进展.

1方程(7)所接受的伸缩变换群

直接采用改进的李群分析法[13-14]寻找方程(7)的无穷小李对称算子是非常棘手的问题.下面采用伸缩变换群法求方程(7)所接受的伸缩变换群,考虑伸缩变换群

2方程(7)的自相似解

2.1情形K(x,y)=k0

对于常数核函数情形K(x,y)=k0,利用核函数的性质(2)得到γ=0.算子Y1对应的不变量为f,x.因此,方程(7)的解的表达式可写成f(x,t)=φ(x),其中函数φ满足常微分-积分方程

2.2情形K(x,y)=k1(x+y)

对和核函数K(x,y)=k1(x+y),采用核函数的性质(2)可得到γ=1.算子Y1对应的不变量为f,x.因此,方程(7)的解的表达式可写成f(x,t)=φ(x),其中函数φ满足常微分-积分方程3结束语将伸缩变换群法用于一类带齐次核函数的偏微分-积分方程,找到该方程所接受的伸缩变换群、自相似解、精确解和约化的常微分-积分方程,结果表明采用伸缩变换群研究一个新的偏微分-积分方程是简洁且有效的.

参考文献:

[1]RAMKRISHNAD.Populationbalances:theoryandapplicationstoparticulatesystemsinengineering[M].SanDiego:AcademicPress,2000.

[2]RAMKRISHNAD,SINGHMR.Populationbalancemodeling:currentstatusandfutureprospects[J].AnnuRevChemBiomolEng,2014,5:123-146.

[3]YEOHGH,CHEUNGCP,TUJ.Multiphaseflowanalysisusingpopulationbalancemodeling:bubbles,dropsandparticles[M].Amsterdam:ElsevierScience,2014.

[4]WANGKY,YUSY,PENGW.Extendedlog-normalmethodofmomentsforsolvingthepopulationbalanceequationforBrowniancoagulation[J].AerosolSciTech,2019,12(3):1521-7388.

[5]WANGKY,PENGW,YUSY.Anewapproximationapproachforanalyticallysolvingthepopulationbalanceequationduetothermophoreticcoagulation[J].JAerosolSci,2019,128:125-137.

[6]CAMERONIT,WANGFY,IMMANUELCD,etal.Processsystemsmodellingandapplicationsingranulation:areview[J].ChemEngSci,2005,60(14):3723-3750.

[7]KAPURPC.Kineticsofgranulationbynon-randomcoalescencemechanism[J].ChemEngSci,1972,27(10):1863-1869

作者:林府标 张千宏 单位:贵州财经大学数统学院

安徽大学学报责任编辑:宋小艳    阅读:人次
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