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中学数学中的应用范文

时间:2022-09-08 09:51:36

中学数学中的应用

一、什么情况下使用反证法

1.在某一知识系统的初始阶段,推理依据较少例1.证明,如果两条直线a,b都和第三条直线c平行,那么这两条直线相互平行。分析:让学生知道这样的问题是不能直接证明的,这就要引入到问题的反面讨论问题。否定命题的结论,即a,b不平行,那么它们必相交.假如相交,设交点为P,因为a∥c,b∥c,于是,经过点P就有两条直线a,b都平行于c。这与平行公理矛盾,产生矛盾的原因是由于假设“a与b相交于P”造成的。所以,a与b不相交,则只能平行,问题得证。

2.一般不易直接证明的概念例2.一个三角中至少有一个内角大于等于60º。证明:假设没有一个内角大于等于60º,即每个内角小于60º,则此三角形内角和小于180º。这与定理“三角形内角和是180º”矛盾,故假设不成立,原命题成立。抽屉原则(重迭原则)的许多题目涉及到“至少”型问题。因此,抽屉原则的此类问题可用反证法。各种类型在常秉哲的《抽屉原则及其他》一书中有详细说明。

3.命题结论涉及到(不)等量关系包括代数中的不等式,几何中的边角关系,以及三角恒等式和不等式。例4.凸四边形ABCD中,AB+BD≤AC+CD,求证:AB<AC。分析:只须证明AB≥AC不成立,在三角形中边角相互对应,根据大角对大边法则易推出矛盾。

4.涉及计算而又不易计算分析:常规方法是把左边立方化简整理,但结果是项数越来越多,越来越麻烦。因此,要考虑反证。假设原式m≠1,则分为两种情况(1)m<1,(2)m>1,化简整理得出矛盾。 

5.三角函数的周期性例6.试证:y=sinx的最小正周期是π。分析:根据函数周期的定义,只需证明sinx=sin(x+k),且k最小正周期为π。

6.函数的单调性例7.证明单调递增函数y=x3的反函数y=3x也是反函数。分析:根据单调函数的定义,要证明y=3x是单调增函数,只要证明对定义域内自变量x,任意两个不同值x1,x2,当x1>x2时,有31x>23x即可。

二、运用反证法解题需注意的问题

上术例题表明,在用反证法解题时,必须注意以下几点:第一,必须周密考察原题结论,如果与原题结论相矛盾的方面有多种情形,必须一一给予否定,切不能有所遗漏。第二,推理过程必须完全正确。第三,在推理过程中,一定要使用已知条件。

三、导出的矛盾类型

反证法是通过命题实现矛盾转化,并揭露矛盾,使之显化和形式化而解决问题。归缪是反证法的关键。并非所有反证法,都必须导出以上某一种类型的矛盾,还可以利用反例。如《几何原本》中欧几里德关于质数序列无限的证明,便是运用反例。反证法不仅可以改变研究问题的角度和方向,也能使论证目标更为简单和明确。以上只是部分题型,还需进一步研究,但只要符合应用总则的,一般都可以用反证法。

作者:丁宝波单位:山东无棣县职业中专

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