跳跃振子平衡及分岔的能量分析范文

《力学与实践杂志》2015年第六期

摘要

用能量方法研究了跳跃振子的平衡与分岔.用势能驻值条件确定了平衡位置所满足的方程，通过势能极值判断平衡的稳定性.在不同的弹簧构型下，数值计算了平衡随系统弹性刚度和质量比变化的分岔图.结果表明，弹性刚度和质量比较小时，系统只有一个稳定平衡点和一个不稳定平衡点；刚度和质量比充分大时，系统分岔出一个新的稳定平衡点和一个新的不稳定平衡点.

关键词

能量采集器，跳跃振子，平衡，分岔，稳定性分析

Thompson等[1]最早提出跳跃(snap-through)振子作为屈曲的模型.跳跃振子由2条斜向线性弹簧，1个阻尼器及1个质量块组成，如图1所示.跳跃振子有多种应用.Brennan等[2]用跳跃振子建模昆虫飞行机理，与线性系统比较后确定了动能的峰值.Cao等[3]研究跳跃振子斜置弹簧水平的极限情形，成为典型的光滑但不连续的系统.特别是近年对非线性能量采集器的广泛研究中，跳跃振子作为一种非线性实现方式而受到人们重视[4].McInnes等[5]采用随机共振来增强含跳跃振子的动能采集器，仿真表明在随机激励下所采集能量有显著增加.

Ramlan等[6]提出了非线性双稳态跳跃振子，研究表明当激励频率远小于自然频率时，这种装置将获得更多的能量.Li等[7]基于跳跃振子设计一种电磁式能量采集器，并用数值方法研究了在简谐激励下的周期和混沌运动.Jiang等[8]提出了基于跳跃振子的非线性压电能量采集器，并用解析和数值方法分析了从随机振动中采集的电功率随相关系统参数的变化.

尽管跳跃振子已经有大量研究，但在以往的工作中往往都忽略了质量块自身重力的影响，从而认为系统有2个稳定平衡位置，它们关于2个弹簧在框架上连接点的连线对称.本文从能量角度分析，确定了平衡位置，并判断了稳定性.进而通过数值算例考察了系统的静态分岔.

1平衡点及其稳定性的能量分析

在图1所示系统中，因为阻尼器不影响平衡位置，可以在确定平衡位置时忽略，从而将系统作为保守系统.设振子的关于2个弹簧在框架上连接点的连线位移为x，质量块质量为m，弹簧的刚度为k，弹簧无变形时斜线的长度为L，框架中心与边缘的距离为l.质量块m受刚性杆约束做直线运动.系统的势能为重力势能和弹性势能之和.重力势能的零势面取为2个弹簧在框架上连接点的连线所在水平面，弹性势能原点为弹簧原长.

2静态分岔的数值算例

在以下计算中，装置边缘与中心的距离取为l=0.04m，重力加速度g=9.8m/s2.在本文的计算中，对于不同的无量纲参数度趋近于1的4种情形.图中实线表示稳定平衡点，虚线表示不稳定平衡点.从上述计算结果可知，系统在2个弹簧在框架上连接点的连线下方有1个稳定平衡和1个不稳定平衡，这对平衡点对任意参数都存在，其中稳定平衡的位置随着ω20的增加迅速趋于连接点的连线，且λ的增加加快这种趋近.对于充分大的ω20，在2个弹簧在框架上连接点的连线下方也有1个稳定平衡和1个不稳定平衡，λ的增加使得出现这对平衡点需要ω20的值增大，而新出现的稳定平衡更靠近连接点的连线.存在2个稳定平衡位形时，这2个平衡点也并非关于连接点的连线对称.

3结论

本文用能量方法研究了跳跃振子的平衡及其稳定性，并考察了静态分岔.由平衡条件导出了平衡点所满足的方程.应用拉格朗日定理及其逆定理判断平衡的稳定性，并数值分析了平衡点及其稳定性随参数的变化，得到分岔图.研究表明：(1)系统在弹簧连接点连线的下方存在1个稳定平衡和1个不稳定平衡.(2)随着系统弹性刚度和质量比值的增加，在连接点连线上方出现新的稳定平衡和不稳定平衡，新的稳定平衡随着该比值的增加远离连接点连线，而下方的稳定平衡点随着该比值增加迅速趋近连接点连线.(3)弹簧在连接点连线时的长度与弹簧原长时的比值对分岔图有定量的影响.随着该比值的增加，下方的稳定平衡点更快地趋于连接点连线，而出现上方的新稳定和不稳定平衡所需要的弹性刚度和质量比增大，新的平衡位置更靠近连接点连线.

作者：励轲 陈立群 单位：上海大学上海市应用数学和力学研究所 上海大学力学系 上海市力学在能源工程中的应用重点实验室