浅析非线性电容LC电路位移参数摄动法范文

摘要:为了将位移小参数摄动法拓展到电路领域，用于非线性LC电路方程的求解，为非线性LC电路的研究提供一种分析方法，从系统的拉格朗日函数出发，将变分式进行有限元离散得到时段刚度阵，对电路的特征方程进行一次摄动，用一次摄动后的近似刚度阵代替原时段刚度阵，利用刚度阵与辛传递矩阵的关系将问题转换成辛传递矩阵求解的问题，从而求出非线性电容LC电路中电容的电荷及电感的磁通链随时间变化的关系图．将算例与四阶龙格库塔法进行比较，验证了本文方法的正确性．将本文方法与传递辛矩阵加法摄动进行比较，结果表明:本文方法具有一定的精度、效率及稳定性．

关键词:位移法;摄动;非线性;LC电路;保辛;刚度阵

非线性LC电路是现代电子系统中重要的一部分，广泛应用于通信、电子、测量等领域，分析研究非线性LC电路具有重要的理论意义及实际应用价值．物理问题中存在大量保守体系［1-6］，它们可用Hamilton体系描述，其特点就是保辛［1-9］．保辛可保持保守体系的结构特性，在求解过程中应该注意保辛．对非线性保守系统常用的摄动法，其过程也应考虑保辛［10-17］．位移法小参数摄动是在位移法的基础上发展起来的一种保辛近似算法，应用于力学领域的位移法是以位移为基本未知量，利用节点处的力平衡条件建立方程［18-20］．位移法小参数摄动，是在位移法的基础上进行优化，用一次摄动后的近似刚度阵代替原矩阵，然后转换为辛传递矩阵对问题进行求解．该算法是保辛的，能够保证保守体系的特性，已成功应用到了力学领域［21］．本文把电荷量类比于力学中的位移，将位移法摄动应用到非线性电容LC振荡电路的求解．从由电感、电容所组成系统的拉格朗日函数出发，将变分式进行有限元离散，插值函数采用简单的线性函数，求得时段刚度阵．然后对电路的特征方程进行一次摄动，用一次摄动后的近似刚度阵代替原时段刚度阵．再根据刚度阵与辛传递矩阵的转换关系将问题转换为辛传递矩阵求解，引入状态向量，进而求解出非线性LC电路中电容的电荷及电感的磁通链随时间变化的关系图．通过与四阶龙格库塔法进行比较，验证了本文方法的有效性与正确性．将本文方法与传递辛矩阵加法摄动进行比较，结果表明:本文方法在精度、效率及稳定性方面均优于传递辛矩阵加法摄动．

1基本原理

图1为一个由线性电感L和非线性电容C组成的非线性串联LC电路．电感的自感系数为l，电容器极板上的电荷量为q，电感两端的电压为uL=q••l，非线性电容的库伏特性为对变分式(3)进行有限元离散，即将整个时间长度划分成为m个区段的组合，两端及连接面编号分别为0，1，…，m，插值函数采用简单的线性函数．得到时段刚度阵为位移法摄动就是在此基础上对刚度阵进行一次摄动．离散系统中，子结构k的左右两端分别记为k－1、k，相应的出口电荷为qk－1、qk，出口刚度阵为通过辛传递矩阵可将区段两端的状态向量进行传递，下面引入系统的状态向量．根据式(2)，引入磁通链显然，在哈密顿的表述中，电荷q与磁通链互为对偶变量．于是将电荷与磁通链构成状态向量 根据传递关系

2数值算例及讨论分析

2.1验证本文方法的正确性为验证本文方法的有效性，将本文方法与四阶龙格库塔法取精细步长求得的数值结果进行比较．这里以x=1为例，取l=1H，c=0.1F，ε=0.1，q(0)=1C，(0)=0Wb，步长dt=10－2s．图2所示是位移法摄动(步长取dt=10－2s)与四阶龙格库塔法(步长取dt=10－4s)得到的电荷以及磁通链随时间变化的结果曲线，对比发现，本文方法与四阶龙格库塔法数值结果吻合得很好，验证了本文方法的有效性和正确性．

2.2位移法摄动与传递辛矩阵加法摄动的比较位移法摄动在求解过程中能够保证单元刚度阵的对称性，故是保辛的．传递辛矩阵加法摄动也是一种常用的小参数摄动法，其基本求解思路是将原时段刚度阵直接转换为辛传递矩阵，然后对辛传递矩阵Sk进行一次加法摄动．与位移法摄动不同的是，传递辛矩阵加法摄动不保辛．这里对保辛的位移法摄动与不保辛的传递辛矩阵加法摄动进行比较，仍取l=1H，c=0.1F，ε=0.4，q(0)=1C，(0)=0Wb．首先利用L2误差对比2种方法的精确度，其中L2误差(L2，error)的定义［23］为式中:xref为参考解;T为计算时间的总长度．这里计算时间的总长度T取10s，以四阶龙格库塔法取精细步长dt=10－5s得到的结果作为参考解．图3给出了摄动参数取0.4时，位移法摄动与传递辛矩阵加法摄动的L2误差随时间步长dt变化的曲线图．可以看出，相同时间步长下位移法摄动可以获得较精确的计算结果，其L2，error皆低于传递辛矩阵加法摄动的误差．步长取0.1s时，传递辛矩阵加法摄动的L2，error已经达到了14%，而位移法摄动的误差约为7%，精度明显高于传递辛矩阵加法摄动．由此看出，与传递辛矩阵加法摄动相比，本文方法具有较高的精确度．下面比较位移法摄动与传递辛矩阵加法摄动的计算效率．表1给出了取相同步长时位移法摄动与传递辛矩阵加法摄动的计算时长．可以看出，相同步长下位移法摄动效率明显高于传递辛矩阵加法摄动，且步长越小优势越明显，当步长取dt=10－4s时，传递辛矩阵加法摄动所需时间接近2026s，而位移法摄动仅需8s．取相同步长时，位移法摄动精度高于传递辛矩阵加法摄动，因此，位移法摄动在确保精确度较高的同时，也保证了计算效率．为了进一步对比位移法摄动与传递辛矩阵加法摄动的精确度与稳定性，下面比较不同摄动参数下2种方法的相对误差随计算时长的变化．图4是摄动参数分别取0.1、0.4、0.7时2种方法的相对误差随计算时长变化的曲线，这里步长取10－2s．显然，位移法摄动与传递辛矩阵加法摄动的相对误差均随摄动参数的增加而增大，但位移法摄动增加幅度不大，相对误差也没有因时间的变化有较大波动，能保持长时间的数值精度，较为稳定．当取较大摄动参数0.7时，相对误差也一直保持在10%以内．传递辛矩阵加法摄动的数值结果随着时间的增加而发散，特别是当参数变化较大时，发散得更快．摄动参数取0.7时，相对误差在第9秒已经达到50%，计算结果已经失去意义．综上所述，无论是精确度、稳定性还是效率，位移法摄动均优于传递辛矩阵加法摄动．

3结论

本文将位移小参数摄动法拓展到电路领域，利用位移法摄动求解非线性电容LC电路．该方法由系统的拉格朗日函数出发，将变分式进行有限元离散，插值函数采用简单的线性函数，得到时段刚度阵．对电路的特征方程进行一次摄动，用一次摄动后的近似刚度阵代替原时段刚度阵．最后根据刚度阵与辛传递矩阵的关系将问题转换成辛传递矩阵求解的问题．1)通过与四阶龙格库塔法比较，验证了本文方法求解非线性电容LC电路问题的有效性与正确性．2)比较了位移法摄动与辛传递矩阵加法摄动2种方法，数值算例表明，位移法摄动的精度及效率均高于传递辛矩阵加法摄动．在摄动参数较大的情况下，位移法摄动也能够保证数值结果的精确性．3)相对于辛传递矩阵加法摄动，位移法摄动能够保持长时间的数值精度，具有较好的稳定性．

作者：杨红卫 高冉冉 彭硕 王玉琪 单位：北京工业大学应用数理学院