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角概念的再认识及教学策略

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摘要:数学中的“角”将学生的思维从一维拓宽到二维,为了使学生更好地学习,教材特意将“角知识”分布在两个学段,形成知识螺旋。通过对角概念的再认识,提出了角概念的四个教学策略,有利于提高教学效果。

关键知识螺旋;角概念;角教学

小学数学教材多次出现知识螺旋的内容,同类知识编排在不同的年级学习,是为了学生更好地理解与掌握。“角”就是这样一个知识,这样的安排,是考虑到小学生的认知发展正处于初步逻辑思维期,即从表象性思维的概念化活动逐步过渡到概念性思维的阶段。数学中的“角”将学生的思维从一维拓宽到二维。学生学习这个内容,是对“生活中的角”(如:角落,牛角)认知上的一种数学化剥离,也是学生进一步认识平面几何、立体几何乃至理解数学、认识世界迈出的重大一步。然而在教学实践中,我们经常看到角教学中存在一些问题:有些教师重视角的结构特征,却忽视角概念的作用与价值,以至于学生对角的认识不够到位;有些教师对教材呈现的两种定义理解不深,以至于学生对角的认识不够全面。那么,教师该如何帮助学生准确地理解“角概念”?如何高效地研究“角教学”呢?

1角概念的本质含义

1.1角的定义

教材对“角”进行了如下两种定义:(1)定义一:从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。(2)定义二:角可以看作由一条射线绕着它的端点,从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。我们不难看出:定义一是从角的“结构特征”引发的,我们称之为“静态定义”;而定义二则是从“旋转运动”引发的,我们称之为“动态定义”。这两种定义均采用发生式定义方式,阐述的纬度虽不同,但都紧紧抓住角的本质内涵进行阐述。角的定义还有很多,我们又找到了如下几种定义:(1)角是由两条公共端点的射线所组成的图形(浙教版《七年级数学》)。(2)称图形为角,角由两条线段所夹部分组成,这两条线段的一个端点重合;称这两条线段为角的边,角的大小与边长无关(史宁中)。(3)平面角是在一平面内但不在一条直线上的两条相交线相互的倾斜度(欧几里得《几何原本》)。为什么小学教材不选用这些定义进行描述呢?我们认为定义(1)的思维起点是射线,关注的是两条射线的一种特殊位置关系———具有公共端点,这是一种比较高阶的思维。相较而言,教材选用的定义一突出从“点”引发“射线”的序,一方面把射线分解成“点”和“线”,另一方向突出了射线的形成过程,这样就显得更加细腻,也更适合小学生的年龄特点和心理需求。定义(2)着眼于“线段”,关注的是“所夹部分”,虽说明角的大小与边长无关,但以“射线”作为素材应该更为简约。定义(3)站在“平面角”的高度来诠释角,对于小学生来讲太过抽象。基于以上对比,我们认为教材给出的两种定义更符合小学生的年龄特点和认知水平。静态定义能很好的呈现角的形成和构造,动态定义则拓宽了学生认识事物的眼界,这是上述几种定义无法比拟的———射线在绕端点旋转运动的过程中,学生对图形的感知从一纬拓宽至二维,改变了以往静态识图的经验;这种运动引发了角大小的变化,形成了许多不同的角,所有的角都可以在这个运动中定格。这样,两种定义相互作用,以“静”智“动”,促学生智力的提升,更利于他们全面的认识、理解和掌握角的本质。

1.2角概念的呈现角的概念

第一次呈现是在二年级上册:“角是由一个顶点,两条直直的边组成”。虽然没有给出明确的定义,但学生通过观察、操作、寻找等活动,已经朦胧地建立了角的概念,这种概念是建立在具体之上的抽象。数学来源于生活,又高于生活,学生能够区分生活中的角和数学中的角了。与此同时,这部分内容的学习也为四年级再认识角积累了一定的数学活动经验。角的概念正式呈现是在四年级上册,静态定义出现在学生学习了“线段、射线、直线”之后。借助该定义,学生就能站在数学的角度来解释“为什么角的两边需是直直的?为什么角的大小跟两边长短无关?”因为角的两边是射线。由此可见,角的大小原来也是立足于角的概念的。如此迂回教学,螺旋上升,概念升华,符合小学生的认知发展规律。动态定义出现在“角的分类”一课中,是为引出平角和周角的概念铺设的。此定义打破了静态定义的局限,是对静态识角的一种突破和重构,是学生理解和构建角的概念的一种高度抽象,并抽取出概念的本质。

2角概念的教学策略

在研究角教学之前,我们有必要先对“角教材”进行梳理。我们看到,角概念遍布于角教学的各个环节,站在角概念的高度来指导角教学,可以起到事半功倍的效果。深读教材,我们发现教材在两个学段主要设置了“识角”和“画角”这两个趋同任务,且编排时具有形式上的相似性和知识上的递进性。我们认为,它们是学生理解“角概念”,掌握“角知识”最重要的载体。那么,怎样才能凸显角概念的本质,使角的教学更显张力呢?

2.1策略一:站位静态定义,让“指”成为学生初步识角的强化剂

学生初步认识的角是从物体中“抽象”出来的,教师应该及时引导他们“指一指”,顺序如下:“一个顶点(手指顶点),两条边(手从顶点出发,一条边一条边地指)。”在这样的找角、说角的过程中,“说”与“做”相结合,语言与概念互渗透,角的静态定义自然渗透,角的各部分名称不断强化,自动化,直至内化,悄然无声。我们认为,这种指角、说角的活动不应成为第一课的专用,且需要经常使用。学生初学直角、锐角、钝角时,需要学生“指一指”;学生在画完角后,也需要学生“指一指”。这样处理,借助“指”的动作思考和“说”的发声思考,采用多元表征来完善学生对角知识的建构。我们认为,“指”角活动适用于以直观形象思维为主的低年级学生,在指的动作中,学生能较直观地认识角的“结构特征”;在指的顺序中,学生初步建立了角的概念。当然,“指”这个活动应该贯穿于第一学段,以此来达到学生对角概念的动作建构和意义上的初步理解。

2.2策略二:站位静态定义,让初步画角的技能有章可循

第一学段,教师可以按指角的顺序指导学生画角:“先画一个点(作为角的顶点),再画一条线(作为角的一条边),在另一个方向上画一条线(作为角的另一条边)。”画角技能的背后,折射的就是角的静态定义。通过课前访谈,许多学生能借助三角尺画角,但其画的步骤各不相同:有的学生没画顶点,有的学生画边的顺序倒置。因此,在课堂上,教师应该站在静态定义的高度来指导学生画角的技能,意义重大。我们认为,这样处理将概念本质与操作形式紧密地结合起来,借以概念促技能的达成,并以技能强化概念的理解,两者相辅相成,互助互利。

2.3策略三:站位动态定义,提升学生对“角标记”的认识教材

在第一学段只编排了“直角标记”,但锐角和钝角的标记(角两边之间的弧线)第一次出现却在第二学段(静态定义呈现时)。那么,教师该怎样认清“角标记”的本质呢?我们认为,角标记是角概念不可或缺的一部分,理解角标记有助于学生更全面地理解角概念。学生在学习静态定义之后,教师可以引导学生这么理解,“从一点引出两条射线所组成的图形叫做角”,而这条弧线(角标记)正好是“两条边和一个顶点组合的产物”;在学习动态定义之后,教师可以让学生理解角可以看作由一条射线绕着它的端点,从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。为此,锐角、钝角的标记不一定非得用弧线,带箭头的弧线更能看出这个角的形成过程,即从哪个“起始位置”旋转到哪个“结束位置”。基于这样的定位,我们认为用带箭头的弧线作角标记不仅适用于平角和周角,而且还适用于其它类型的角,对于拥有这个知识层级的孩子来讲,也是能够理解的。

2.4策略四:站位动态定义,突破量角器画角的教学瓶颈

众所周知,用量角器画角是学生操作技能上的难点,主要体现在角的“终边”画错。分析错误原因,其根源是学生没有掌握好量角器读数的技能。如:读内圈还是外圈不清?比整十多2°还是少2°不明?那么,怎样帮助这些学生度过难关?我们认为,站在“动态定义”的高度来帮助认识、理解、使用量角器,可以很好地帮助学生形成正确读数技能,掌握准确画角的方法。“角可以看作由一条射线绕着它的端点,从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。”在教学读数时,教师就应该强调其“开始位置”,即0°刻度线,然后沿着旋转方向依次寻找———可能是顺时针,也可能是逆时针,只要从0°开始由小到大,就能准确找到“结束位置”所在的刻度。掌握了读数技能,画角的难点自然迎刃而解。我们认为,这样处理,其实就是把“隐性”的操作步骤“显现化”,把动态的定义具体化,有利于帮助学生建构正确的操作技能。通过对教材螺旋式编排的解读,我们对不同的学段出现的”角知识”有了更深入地理解。以“静”智“动”,体现了教材在编排上的坡度,激发学生智力上的提升。梳理知识间的脉络,理清知识间的关系,站位“角概念”,研究“角教学”,用后继的数学概念指导着“识角”和“画角”等教学活动,我们似乎有一种高瞻远瞩的感觉。在概念的指引下,教学活动变得有的放矢,学习活动变得紧密有序,学生可以在严密的数学知识链中更好地畅游。

参考文献

[1]王春阳.教材螺旋式编排的分类及学习对策[J].化学教与学,2014(10):54-55

[2]傅琳.发生式定义的概念教学初探[J].上海中学数学,2016(10):44-46.

作者:朱孟迪 单位:慈溪市崇寿镇中心小学

角概念的再认识及教学策略责任编辑:张雨    阅读:人次