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椭圆近似画法误差分析

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《图学学报》2016年第二期

摘要:

四心圆法是用四段圆弧拼接成近似椭圆。由于其对称性,取图形的1/4为研究对象,利用二分法求解方程组,得出两段圆弧拼接点坐标值;分别用两段圆弧的极径和实际椭圆中相应的极径进行长度误差分析,列出两段圆弧与椭圆极坐标方程,使用牛顿迭代法,求出圆弧与实际椭圆的极径长度最大误差值;计算出近似椭圆与实际椭圆面积,求出面积误差值。在编程软件中,根据所得数学模型编制计算器,计算结果列表对比分析,得出四心圆法作近似椭圆的误差结论。

关键词:

椭圆;牛顿迭代法;计算器;误差分析

现实生活中,使用直尺和圆规手工作图,不可能画出精确的椭圆。用若干段圆弧拼接成近似椭圆是一个自然的想法,椭圆的近似画法在数学(制图)、天文(轨道分析)、艺术和建筑(如石拱门)设计中曾有广泛应用[1]。使用四心圆法画近似椭圆是常见的方法,简化了椭圆的画法,易于通过尺规作图实现,但能否准确地代替椭圆,在此还需对四心圆法作椭圆进行误差分析。

1四心圆法作椭圆

椭圆有两条相互垂直且对称的轴,即长轴和短轴,当长轴和短轴为已知时,用四心圆法画椭圆,其步骤[2]如下:(1)画出相互垂直且平分的长轴AB与短轴CD;(2)连接AC,并在AC上取CE=OA-OC,如图1(a)所示;(3)作AE的中垂线,与长、短轴分别交于O2、O3,再作对称点O1、O4,如图1(b)所示;(4)以O1、O2、O3、O4各点为圆心,O2C、O4D、O3A、O1B为半径分别画弧,即得近似椭圆,如图1(c)所示。

2数学模型

王国顺和唐立波[3]介绍了圆弧拟合椭圆的误差分析没有精确理论解析。利用图形学理论,研究极径误差大小来分析圆弧与实际椭圆的近似程度,由于椭圆是对称图形,在研究其近似画法极径长度误差时,只研究图形的1/4即可,取第一象限图像为研究对象,并建立坐标系,如图2所示。由上式可知极径长度误差e是分段函数,大圆弧与小圆弧拼接点K是其分段点,所以需求解出K点坐标值,进而求得极角值,对两段函数分别进行讨论计算,进而才能求得e的最大值。欲求点K坐标值,需确定圆O1与圆O2的位置关系。圆与圆位置关系有5种,即相离、相切、相交、内切和内含,判断两圆的位置关系的步骤及其判断方法:①计算两圆的半径R,r;②计算两圆的圆心距O1O2,即d;③根据d与R,r之间的关系判断两圆的位置关系。

3计算器

编程是为了借助计算机来达到某一目的或解决某个问题,而使用某种程序设计语言编写程序代码,并最终得到结果。随着计算机技术的发展和普及,数值分析的原理与方法在各学科中的应用越来越多,根据数学模型提出求解的计算方法,直到编出程序上机算出结果,并对计算结果进行分析。根据推导出的数学模型,在编程软件中编写程序,生成椭圆近似画法误差计算器,如图3所示。图3计算器输入椭圆长半轴和短半轴长参数,点击计算按钮,则输出结果。以a=25,b=12为例,计算结果如图4所示,通过46次迭代计算,大圆弧与小圆弧接点的极角=19.883°,当极角θ=16.388°时,椭圆近似画法与实际椭圆的极径长度误差值最大,最大误差值为2.586%,实际椭圆面积S1=942.478,近似椭圆面积S2=948.629,面积误差为0.653%。多次输入,可以点击重置按钮,文本框清除,可以重新输入。计算器的退出,有2种方法选择:①点击退出按钮;②点击界面的退出按钮,也可退出。

4结论

在计算器中,输入不同a,b值,经计算输出结果,见表1。由表1可得如下结论:(1)S2>S1,说明近似椭圆比实际椭圆面积大,近似椭圆比实际椭圆更饱满。(2)>θ,说明极径最大偏差值永远发生在小圆弧段内,近似椭圆在大圆弧段内和实际椭圆拟合得较好。(3)椭圆长半轴长a与短半轴长b越接近,即a/b值越接近1,极径长度误差越小,近似椭圆与实际椭圆拟合的越好。

参考文献

[1]曾振柄,陈良育,李志斌,等.偏差最小的四心圆近似椭圆作图法[J].图学学报,2013,34(1):9-10.

[2]王幼龙.机械制图[M].北京:高等教育出版社,2007:29.

[3]王国顺,唐立波.八心圆弧拟合椭圆误差的理论解析及最优解[J].图学学报,2014,35(5):697-703.

[4]张铁,闫家斌.数值分析[M].北京:冶金工业出版社,2005:78-79.

[5]同济大学数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2014:86-88.

[6]李庆扬,王能超,易大义.数值分析[M].北京:清华大学出版社,2001:276-277.

作者:周亚辉 单位:辽宁轨道交通职业学院

《图学学报》2016年第二期

摘要:

四心圆法是用四段圆弧拼接成近似椭圆。由于其对称性,取图形的1/4为研究对象,利用二分法求解方程组,得出两段圆弧拼接点坐标值;分别用两段圆弧的极径和实际椭圆中相应的极径进行长度误差分析,列出两段圆弧与椭圆极坐标方程,使用牛顿迭代法,求出圆弧与实际椭圆的极径长度最大误差值;计算出近似椭圆与实际椭圆面积,求出面积误差值。在编程软件中,根据所得数学模型编制计算器,计算结果列表对比分析,得出四心圆法作近似椭圆的误差结论。

关键词:

椭圆;牛顿迭代法;计算器;误差分析

现实生活中,使用直尺和圆规手工作图,不可能画出精确的椭圆。用若干段圆弧拼接成近似椭圆是一个自然的想法,椭圆的近似画法在数学(制图)、天文(轨道分析)、艺术和建筑(如石拱门)设计中曾有广泛应用[1]。使用四心圆法画近似椭圆是常见的方法,简化了椭圆的画法,易于通过尺规作图实现,但能否准确地代替椭圆,在此还需对四心圆法作椭圆进行误差分析。

1四心圆法作椭圆

椭圆有两条相互垂直且对称的轴,即长轴和短轴,当长轴和短轴为已知时,用四心圆法画椭圆,其步骤[2]如下:(1)画出相互垂直且平分的长轴AB与短轴CD;(2)连接AC,并在AC上取CE=OA-OC,如图1(a)所示;(3)作AE的中垂线,与长、短轴分别交于O2、O3,再作对称点O1、O4,如图1(b)所示;(4)以O1、O2、O3、O4各点为圆心,O2C、O4D、O3A、O1B为半径分别画弧,即得近似椭圆,如图1(c)所示。

2数学模型

王国顺和唐立波[3]介绍了圆弧拟合椭圆的误差分析没有精确理论解析。利用图形学理论,研究极径误差大小来分析圆弧与实际椭圆的近似程度,由于椭圆是对称图形,在研究其近似画法极径长度误差时,只研究图形的1/4即可,取第一象限图像为研究对象,并建立坐标系,如图2所示。由上式可知极径长度误差e是分段函数,大圆弧与小圆弧拼接点K是其分段点,所以需求解出K点坐标值,进而求得极角值,对两段函数分别进行讨论计算,进而才能求得e的最大值。欲求点K坐标值,需确定圆O1与圆O2的位置关系。圆与圆位置关系有5种,即相离、相切、相交、内切和内含,判断两圆的位置关系的步骤及其判断方法:①计算两圆的半径R,r;②计算两圆的圆心距O1O2,即d;③根据d与R,r之间的关系判断两圆的位置关系。

3计算器

编程是为了借助计算机来达到某一目的或解决某个问题,而使用某种程序设计语言编写程序代码,并最终得到结果。随着计算机技术的发展和普及,数值分析的原理与方法在各学科中的应用越来越多,根据数学模型提出求解的计算方法,直到编出程序上机算出结果,并对计算结果进行分析。根据推导出的数学模型,在编程软件中编写程序,生成椭圆近似画法误差计算器,如图3所示。图3计算器输入椭圆长半轴和短半轴长参数,点击计算按钮,则输出结果。以a=25,b=12为例,计算结果如图4所示,通过46次迭代计算,大圆弧与小圆弧接点的极角=19.883°,当极角θ=16.388°时,椭圆近似画法与实际椭圆的极径长度误差值最大,最大误差值为2.586%,实际椭圆面积S1=942.478,近似椭圆面积S2=948.629,面积误差为0.653%。多次输入,可以点击重置按钮,文本框清除,可以重新输入。计算器的退出,有2种方法选择:①点击退出按钮;②点击界面的退出按钮,也可退出。

4结论

在计算器中,输入不同a,b值,经计算输出结果,见表1。由表1可得如下结论:(1)S2>S1,说明近似椭圆比实际椭圆面积大,近似椭圆比实际椭圆更饱满。(2)>θ,说明极径最大偏差值永远发生在小圆弧段内,近似椭圆在大圆弧段内和实际椭圆拟合得较好。(3)椭圆长半轴长a与短半轴长b越接近,即a/b值越接近1,极径长度误差越小,近似椭圆与实际椭圆拟合的越好。

参考文献

[1]曾振柄,陈良育,李志斌,等.偏差最小的四心圆近似椭圆作图法[J].图学学报,2013,34(1):9-10.

[2]王幼龙.机械制图[M].北京:高等教育出版社,2007:29.

[3]王国顺,唐立波.八心圆弧拟合椭圆误差的理论解析及最优解[J].图学学报,2014,35(5):697-703.

[4]张铁,闫家斌.数值分析[M].北京:冶金工业出版社,2005:78-79.

[5]同济大学数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2014:86-88.

[6]李庆扬,王能超,易大义.数值分析[M].北京:清华大学出版社,2001:276-277.

作者:周亚辉 单位:辽宁轨道交通职业学院

图学学报责任编辑:杨雪    阅读:人次