孤立视界熵的统计解释新方案范文

《科学通报杂志》2015年第Z2期

今年是Einstein发表广义相对论(GR)的奠基性论文100周年.在过去的100年中,越来越多的实验验证了GR的正确性.现在,人们普遍认为,GR很好地描述了有关引力的很多现象.不过,GR依然面临一个重要问题:它与20世纪另外一个极其成功的理论——量子理论——尚无法协调.换句话说,结合广义相对论与量子理论的所谓“量子引力理论”依然没有圆满地建立起来.到目前为止,有几个“量子引力理论”的候选者,包括弦/M理论、圈量子引力等.每一种理论都有其自身的合理之处,但也都存在着一些问题.

黑洞物理学是GR的重要组成部分.20世纪70年代,在Bekenstein和Hawking等人开创性工作的基础上建立起黑洞热力学,它为“量子引力理论”的创建提供了一些重要线索.黑洞熵的微观起源是黑洞热力学的一个核心问题.1996年,Strominger和Vafa率先应用弦理论的技巧计算了极端黑洞的熵,得到了Bekenstein-Hawking面积熵公式.随后发现,从圈量子引力出发,也可给出黑洞熵的微观解释.到目前为止,已经有许多方法来解释黑洞的熵,它们各有自己的假设和适用范围,尚无一种方法堪称完整.孤立视界是稳态黑洞事件视界概念的推广,它将稳态黑洞推广到更现实的情况,在数学物理、数值广义相对论和量子引力中有许多应用.黑洞热力学第零定律和第一定律可以很直接地推广到孤立视界上,应用圈量子引力方法亦可对孤立视界的熵提供微观解释:视界上的自由度可以用Chern-Simons(CS)理论来描述,于是熵的微观起源就是视界上CS理论的Hilbert空间的维数.然而,由于CS理论只能定义在奇数维时空上,因而这一方案只能用于解释偶数维时空中黑洞的熵.近两年,又出现两种密切相关但又有所不同的解释黑洞熵的新方案:应用边界BF理论取代边界CS理论来描述视界上的自由度.同样作为拓扑场论,BF理论的最大优点是可以定义在任意维时空上,从而原则上不会有维度的限制.这两方案确实可以用于处理任意维时空中无转动和有转动的孤立视界,也可用于标量张量引力理论以及与标量场非最小耦合理论中的孤立视界,甚至在做了一定的假设后可用于Lovelock理论.本文就介绍这两种新方案.为方便起见,采用的单位制.

1孤立视界

黑洞事件视界(eventhorizon)是一个非常有用的概念,不过,其定义需要知道整个时空的性质,这在物理上是很不自然的.鉴于此,Ashtakar等人提出了孤立视界(isolatedhorizon)的概念,其最大优点在于,定义只需用到局部信息.根据定义,四维时空中的孤立视界是一个3维类光超曲面它的类光法矢la的膨胀l是0,Einstein场方程在的一个邻域内成立。

2四维时空中孤立视界的熵

2.1作用量与辛形式考虑一个以孤立视界为内部边界的时空区域,在此区域上,广义相对论的Palatini作用量。

2.2SO(1,1)BF理论与系统的量子化一个纯SO(1,1)BF理论的作用量给出场方程是对比方程(15)会发现,联络场依然是平坦的,而场却不再是闭的,时空上的场01为场提供了源.与纯BF理论作用量一样,在孤立视界上的BF理论的作用量在如下两类规范变换下保持不变。

2.3熵的计算孤立视界的熵来自于整个量子体系中与内边界自由度(即视界)相关联的部分,而与其他部分的自由度无关.所以需要通过求迹方法把其他自由度去掉,得到一个密度矩阵,而这个密度矩阵的vonNeumann熵就是孤立视界的熵.上述计算说明,对于作用量(6)、辛形式(12)和第一种BF理论量子化的方案,孤立视界熵归结为边界上BF理论的微观自由度数.对于作用量(13)、辛形式(14)和第二种BF理论量子化的方案,孤立视界的熵则归结于引力理论满足边界条件的微观态在边界上的自由度数.

3各种推广

上述方案不仅可以用于解释广义相对论在四维时空中孤立视界熵的统计起源,还可以用于解释各种引力理论、各种维数时空中的孤立视界熵的统计起源.以下给出几个例子.

3.1高维孤立视界一个最直接的推广是高维时空中的黑洞.尽管现在观测到的时空是四维的,但是并不排除在极小尺度上额外维度的存在,或者像“膜世界”这样的假说.单单从理论上讲,研究高维黑洞也是有意义的,比如在四维渐直的时空中,黑洞的拓扑都是球形的,但是在高维,可以存在其他拓扑的黑洞.

3.2Lovelock理论中的孤立视界的熵Lovelock理论[38]是广义相对论在高维时空上的一个自然推广,其作用量包含高阶导数项,但由于作用量的特殊选择,使得场方程中只包含二阶导数项,从而避免了一般高阶引力理论中的“幽灵”问题.在D维时空中,作用量的形式为。在Lovelock理论中也存在黑洞解,黑洞本身也具有温度和熵,并且满足热力学第一定律.只不过此时黑洞熵不再满足面积熵公式,而是遵守更一般的Wald熵公式.黑洞的事件视界也可以推广为孤立视界,只是定义需要做相应的改变.重要的是,孤立视界上的度规和联络是不随时间变化的,孤立视界的几何性质不依赖于作用量.所以此前涉及孤立视界性质的讨论都可以照搬过来.

3.3与标量场非最小耦合的理论中孤立视界的熵上面讨论的都是纯引力理论情况,这一小节讨论引力与物质场耦合的情况.当这种耦合是最小耦合时,孤立视界的熵仍满足面积定律,物质场没有额外的贡献.只有当物质场与引力场非最小耦合时,孤立视界的熵不再满足面积定律,而是满足更一般的Wald熵公式.

4总结与讨论

本文利用边界BF理论来解释孤立视界熵的微观起源.从一阶作用量出发,两次变分后可以得到辛流.而由于孤立视界的性质,SO(1,1)BF理论的辛流通过视界的通量可以表示成通过最后与最初截面的通量之差.而辛流通过任意截面的通量正好是SO(1,1)BF理论的辛形式,所以,孤立视界可以由SO(1,1)BF理论来描述.应用边界BF理论,孤立视界的熵既可以解释成由边界上SO(1,1)BF理论的量子态的自由度数确定,也可以解释成由满足孤立视界给出边界条件的所有量子态的边界自由度数确定.边界BF理论方案适用性广泛,可用于任意维度的广义相对论,标量-张量引力理论以及引力与标量场非最小耦合理论.对于Lovelock理论,加上“量子化的通量”假设以后,同样可以得到孤立视界的Wald熵公式.

正如前面所指出的,相较边界CS理论方案,边界BF理论方案的一个最大优点在于它可以定义在任何维度上.另一大优点在于SO(1,1)对称性存在于所有的孤立视界之中,不管其是否还存在其他的对称性.于是,可以统一地处理各种孤立视界.本文在计算熵的过程中,采用的是“通量约束”而非通常的“面积约束”,其优越性可从Lovelock引力理论和与标量场非最小耦合的引力理论中的孤立视界熵的形式看出.在这两种理论中,视界的熵都不再与面积成正比,而是满足一般的Wald熵公式.而Wald熵公式正好可以写成通量算符积分的形式,也就是说,此时的熵不是与面积成正比,而是与通量成正比.边界BF理论方案在解释黑洞熵方面有着广泛的应用,而另一个有广泛应用的是共形场论方案.

在边界BF理论方案中,与孤立视界相关联的整个时空几何全部纳入考虑之中,而在共形场论方案中只虑了近视界的2维几何.前者用的是内部SO(1,1)对称性,而后者则是从微分同胚不变性中挑出2维的共形对称性.前者在边界上添加了一个明确的BF理论,而后者则相当于添加一个共形场论,其具体形式尚不清楚.前者给出的熵公式中包含一个待定参数,而后者可以精确地给出Bekenstein-Hawking熵公式.前者除了给出Bekenstein-Hawking熵公式以外,还可以给出更一般的Wald熵公式,而后者是否能给出Wald熵公式还有待探讨.这两者之间是否存在某种内在的联系仍是一个令人感兴趣、值得探索的问题。

作者：黄超光 王晶波 单位：中国科学院高能物理研究所