同心幻方在趋势无关设计中的研究范文

《工程数学学报》2016年第三期

摘要:

试验设计中往往会碰到带有趋势干扰因子的情形，这类趋势可以是由时间效应或空间效应引起的．本文探讨了幻方及纯幻方在带有趋势干扰效应设计中的若干应用．首先，利用幻方的组合性质，得到了一类设计因子与趋势干扰因子在参数估计上不混杂的设计；其次，采用纯幻方，进一步得到了多因子试验设计中的趋势无关设计；最后，给出了利用幻方和纯幻方构造相应趋势无关设计的基本方法，同时证明了运用同心幻方进行交叉验证的结果．

关键词:

同心幻方；多水平；多项式模型；多因子试验；混杂

1引言

试验设计自20世纪20年代问世至今，已在农业、工业、生物医药、航空航天、经济管理等领域得到广泛应用，各种试验设计方法也得到了迅速发展，如区组设计、部分因析设计、正交设计、均匀设计、空间填充设计、饱和设计、超饱和设计、正交拉丁超立方体设计等等．一般的试验设计方法并不考虑试验顺序，因为试验顺序常采用“随机化”准则．然而，在一些试验中，比如物理或者工程试验中，一次试验常常需要花费一定的时间，而整个试验做完需要一个月或更久，那么，在这些需要长时间完成的试验中，试验单元或者试验环境有可能发生了趋势性的变化．最后的试验结果易受到时间或空间效应的干扰．于是，许多学者对设计顺序进行了研究.早期，Phillips[1-3]、Daniel和Wilcoxon[4]、Draper和Stoneman[5]等讨论了带有时间趋势效应的试验设计顺序问题，他们将时间趋势效应T用一个p阶多项式模型来代替。本文同样采用多项式模型来表示趋势干扰效应．在这一个模型下，Draper和Stone-man[5]讨论了与时间趋势无关(trend-free)的二水平设计，并且还讨论了最小水平变化(levelchange)设计．Cheng和Jacroux[7]给出了二水平时间趋势无关设计的一种构造方法，Jacroux[8]对带有时间趋势的混合水平设计进行了研究，Wang[9]借助并列法对特殊的混合水平情形2p4q进行了讨论．近期，也对含有区组的带有时间趋势的设计顺序进行了研究[10]．然而，文献中对于多水平和混合水平情形的研究仍然较少，对高水平和混合水平因析设计的研究则更少．幻方，也称为魔方(magicsquare)，我国数学家杨辉称其为“纵横图”．其与群论，

组合数学密切相关，在纯数学和应用数学的研究中都有着重要的意义[11-14]．本文不关注幻方在数学中的性质研究或构造，主要关注幻方在统计中，特别是在工程试验设计领域中的应用．事实上，早在1964年，Phillips[1,2]发现了幻方可以用于带有时间趋势干扰的设计，然而这类设计仅包含两个因子，其水平数正好等于幻方的阶数．Hedayat[15]也研究了幻方的若干统计性质，指出在对干扰因子的参数估计上，幻方可以使得相应最小二乘估计的方差达到最小．本文将进一步说明幻方(纯幻方)可以应用在两因子(多因子)试验设计中，其对试验因子的参数估计与干扰因子是1阶趋势无关或线性无关(lineartrendfree)的，并给出相应的构造方法．第2节主要介绍幻方的基本概念及其在带有趋势干扰效应的设计中的应用，借助幻方，可以构造出一类与趋势效应无关的设计，且这类设计主要包括两个多水平因子．第3节给出主要叙述纯幻方在带有趋势干扰效应的设计中的应用．借助纯幻方，可以构造出一类含有多个与趋势效应无关因子的设计，同时这类设计也可以应用在含有交互作用项的设计中．第4节是结束语．

2幻方与两因子趋势无关设计

例1考虑一个化工厂生产的一种化工产品，影响采收率的因素有多个，包括催化剂种类、反应温度等．并且这类试验往往和反应时间有关．下面用表1给出的三阶幻方，来设计一个与1阶时间趋势效应无关的设计顺序，见表2，其包含两个三水平因子，取值为{0,1,2}.由于试验结果往往带有一定的随机性，所得试验结论需要经过一定的统计显著性检验．交叉验证可以进一步对试验结果进行比较研究，如果一个设计能够进行交叉验证，此时的结论具有更高的可靠性．定义2[11,13]同心幻方也称嵌套幻方，其可以从中心开始向外辐射，依次剥去最外一层后的方阵均是幻方．定理3当n为奇数时，一个n阶同心幻方可以安排含有二个1阶趋势无关因子的设计，且可以进行n12次交叉验证．证明设M=(mij)是一个n同心幻方，由定理2，幻方的行和列分别可以看作两个n水平因子，记为A,B，它们均是1阶趋势无关的．所得试验结果可以进行相应的显著性检验．然后，将该同心幻方剥去最外一层，此时可以用来安排一个含有2个n2水平因子的设计，且仍是趋势无关的．于是，可以采用该部分数据进行相应的显著性检验，并与第一次结论进行交叉验证．以此类推，将该同心幻方剥去第二层，并进行第2次交叉验证．综上，可以进行n12次交叉验证．

3纯幻方与多因子趋势无关设计

定理4当n为素数或素数幂时，一个n阶纯幻方至少可以安排含有四个n水平因子的因析设计，且四个因子均是1阶趋势无关的．证明设M=(mij)是一个n纯幻方，由定理2，幻方的行和列分别可以看作两个因子，记为A,B，它们均是1阶趋势无关的．另外，对于纯幻方，存在另外两个1阶趋势无关的因子C,D．设A,B的水平取值分别为a,b，令因子C取值为mod(a+b,n)，因子D取值为mod(ab,n)，即因子C由幻方中从右上往左下的对角线得到，D由幻方的从左上往右下的对角线得到，则由纯幻方定义3可知，所有泛对角线上元素的和均相等．于是。例2对于采收率试验，例1给出了一个与时间干扰效应无关的设计，但所包含的试验因子只能为两个，如果影响因子多于两个，可以考虑下面的设计，见表5，其包含四个因子，水平取值{0,1,2,3,4}．比如，第一次试验的水平组合为(1,2,3,4)，即因子A取1水平，因子B取2水平，因子C取值水平为mod(1+2,5)=3，因子D取值水平为mod(12,5)=4．当n为合数时，虽不能像素数情形直接推出四个与趋势无关的因子，但纯幻方仍然可能给出包含多个因子的设计．下面给出一个包含三个因子的采收率试验设计方案．见表6，因子水平取值为{0,1,2,3}．比如，第一次试验的水平组合为(3,3,0)，即因子A取3水平，因子B取3水平，因子C取0水平．

4结束语

构造含有高水平因子的趋势无关设计是比较困难的一个问题，本文给出了一种用幻方和纯幻方构造的简单方法，所有这些设计均可以应用在带有时间或者空间趋势干扰效应的工程、生物医药等试验中．其可以避免在数据分析时，试验结果受时间干扰效应的影响，从而造成在参数估计[20]和变量选择上的误判．由于幻方(纯幻方)的特殊性，本文仅讨论了幻方(纯幻方)在等水平设计中的应用，幻方(纯幻方)是否可以进一步应用在混合水平趋势无关的设计中，有待进一步的探讨．

作者：马海南 陈雪平 单位：浙江工业职业技术学院人文社科部 江苏理工学院数理学院 东南大学数学系