网格处理对流扩散问题的研究范文

《湘潭大学自然科学学报》2014年第二期

1多尺度有限元逼近

1.1变分形式与多尺度有限元问题（1）的变分形式：为寻求u∈H1满足与以上不同，多尺度有限元法［8］的主要思想是：基于原方程的微分算子在粗单元求解局部子问题，得到的多尺度基函数自动将微观尺度下解的信息带入宏观尺度，利用有限元格式在粗网格组装并求解，用较少的计算机资源在宏观尺度能获得很好的数值解．将区间I依据对流扩散的过渡点τ分为光滑与边界层两部分，令Kh是粗网格剖分，则在每一个粗单元K∈Kh定义离散基函数．采用多尺度有限元法，对应的变分形式是寻求uh∈Uh满足

1.2多尺度基函数的子问题在粗网格单元K求解多尺度基函数子问题尺度空间Uh＝spanφi，｛K∈K｝h，可以将奇异摄动的边界层局部性态带入到多尺度基函数，通过多尺度有限元格式的总刚度矩阵组装并求解，在宏观粗网格即可用较少的计算资源获得高精度结果uh．

2数值实验

在这一部分为验证新方法的高效性，分别采用传统有限元法（FEM）和多尺度有限元法（MsFEM）结合Bakhvalov－Shishkin网格来计算例题，随着网格剖分数N的增加，比较两种数值方法在精度、稳定性、收敛阶方面的优劣。我们知道，当ε较大时不会出现奇异摄动现象，传统数值方法能有效处理问题，其计算结果在此不列出．而当ε很小时，解在边界层出现跳跃现象，我们采用多尺度有限元结合Bakhvalov－Shishkin网格，用少量时间计算多尺度基函数，在较粗网格上就能很好地逼近边界层．从表1看出取ε＝10－4，FEM最终在非常密的B－S网格NM＝2048算得较高的精度，得到2阶收敛的L2范数．为了公平比较，求子问题（5）多尺度基函数取M＝4（即很短时间计算得到基函数，且N•4＝NM进行同级比较），多尺度方法MsFEM即使在较粗B－S网格剖分数N下，如N＝64时达到10－5精度，N＝512时达到10－8的高精度；并且随着加密剖分展现出高于2阶的超收敛L2范数，充分验证了多尺度有限元解在Bakhvalov－Shishkin网格的精确性和稳定性．从图1、图2可以看出，当ε＝10－4很小时真解u在右端x＝1出现急剧跳跃，左边（a）的FEM在一致网格上即使网格剖分很密也无法解决边界层现象，与真解相去甚远；而右边（b）的MsFEM结合Ba－khvalov－Shishkin网格在很粗的网格上就非常有效地逼近了边界层，数值模拟效果非常好，这归功于多尺度基函数在B－S网格上获得了高效的局部逼近信息．

3结语

研究了多尺度有限元结合特殊的Bakhvalov－Shishkin网格来处理对流扩散边界层模拟，利用多尺度基函数逼近边界层的奇异摄动信息，通过比较两种数值方法的L2范数，证明了多尺度有限元法在Bakhvalov粗网格能获得不依赖于摄动系数ε大小、二阶一致超收敛的高效数值结果，仅用少量的计算资源就体现了新方法的应用优势．

作者：孙美玲江山唐元生单位：扬州大学数学科学学院南通职业大学教育技术中心