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高中数学解题教学的认识

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《中学数学杂志》2014年第十三期

一、创设悟理情景

解题时,对已知条件的使用方式有:直接套用、变式运用、等价转用和综合运用等四种使用层次,并依次体现出问题解决的思维难度,也是思维品质的反映;解题的思维起点是题目的已知条件,已知条件的结构特征蕴含着思路的突破口.一个问题的解决,往往要突破若干个“节点”,“节点”可能存在于解题伊始,也可能存在于解题过程之中.对于“节点”的突破,上善之策是创设合适的破解情境,激励学生悟出破解途径.

1.解题突破口悟理情境的创设有的题目,学生在入口处就遇到节点,这时教师要从已知条件的结构特征、含义等方面入手,启迪学生思考;有的问题,还需要对已知做一些初步变形,才能发现其本质含义.案例1已知函数(fx)的定义域为R,(f-1)=2,对任意x∈R,f(′x)>2,求不等式(fx)>2x+4的解集.教学分析:这是一个求解抽象不等式的问题,要借助函数的单调性将该不等式化归为具体的不等式进行求解,入口不易发现.设问1:已知条件中,不等式(fx)>2x+4与f(′x)>2有关系吗?(这是第一个节点)激发学生从两式的结构特点入手进行分析,进而构造出函数g(x)=(fx)-(2x+4).故(fx)>2x+4等价于g(x)>0(.*)由于g(′x)=f(′x)-2>0,所以函数g(x)是单调递增函数.接着遇到第二个“节点”,如何求解不等式(*).设问2:g(x)>0还是一个抽象不等式,求解的关键是什么?启发学生思考,将不等式右边的0转化为函数g(x)的一个值,注意到已知条件,不难发现g(-1)=f(-1)-2(-1)-4=0.所以不等式(*)等价于g(x)>g(-1),得x>-1.所以,原不等式的解集为{x|x>-1}.教学反思:求解本题的节点有两个,是两次关键转化,教学时,在此设问,启发思考,有利于强化解题分析,提升转化能力.

2.解题过程中悟理情景的创设有些题目,在找到解题切入点、初步运算求解后,失去了转化方向,或者找不到转化手段,此时,寻找下一步转化方向、转化方法成为重要任务.教师要能够准确把握问题解决遇阻的节点,设计合理的思维情境,让学生悟出方向、找到突破手段,此为最佳境界.案例2已知函数f(x)=lnx-ax2+(a-2)x,求函数(fx)在区间[a2,a]上的最大值.教学反思:这是一道测试题的教学实录,得分并不理想,症结在于两个“节点”的突破:一是隐含条件a2<a的挖掘;二是区间[a2,a]是变化的,求最值时需要分类讨论.由于教师处理适当,适时抛出问题,作为学生深入思考的脚手架,实现了两个关键“节点”的突破.

二、揭示破解“节点”的思维过程

解题教学中,学生不可能悟得出所有“节点”的破解,对于一些难度大,超越了学生现有知识基础的“节点”,教师要能够着力揭示、强化破解的思维过程,揭示破解“节点”的思维起点和缘由.案例3设函数(fx)的定义域为D,若存在区间[m,n]奂D,使得(fx)在[m,n]上的值域为[m+1,n+1],则称区间[m,n]为函数(fx)的“增值区间”.试问函数g(x)=(x-1)ex(x∈R*)是否存在“增值区间”?若存在,求出“增值区间”;若不存在,说明理由.教学过程如下:师:这是一个新定义问题,解决问题的关键在于吃透概念“增值区间”的含义,想一想,从哪里入手?生:根据函数g(x)=(x-1)ex和区间[m,n]确定函数的值域,使值域为[m+1,n+1].生:假设函数g(x)存在增值区间[m,n](m,n>0).当x>0时,g(′x)=xex>0,故函数g(x)在区间(0,+∞)上是增函数,则有(m-1)em=m+1,(n-1)en=n+1*.师:下来怎么办?(学生沉思,无人回答)师:这两个式子有什么共同点?你得到什么发现?生:两个式子的结构完全一样,可以将m,n看作方程(x-1)ex-x-1=0(*)的两个根.师:很好!方程(*)的两个根还有其他约束条件吗?生:m,n是两个不相等的正根.只要判断出方程(*)是否存在两个不等正根,这个问题就解决了.片段反思:上述过程中,将方程组的求解转化为对方程(*)的根的研究,是一个重要节点,此过程中,教师启发、导引,由学生悟出节点的突破方向和手段;同时,对于学生忽视或者表述不规范的地方,教师作以提示、矫正.师:那么,怎样研究方程(*)是否存在两个不等正根呢?显然,我们不可能通过解方程求出根或者否定它不存在两个正根.生:将方程的根转化为函数的零点.师:很好!大家试试看.生:令h(x)=(x-1)ex-x-1,则需要判断函数h(x)在(0,+∞)上是否有两个不同的零点,易得h(′x)=xex-1,以后不好办了.师:对函数h(x)求导的目的在于研究该函数的图像,进而勾勒出函数h(x)的特征图,再根据特征图研究函数h(x)的零点,下面重点分析h(x)的零点状况.不难发现,当x>0时,函数h(′x)=xex-1是增函数.因为h(′0)=-1<0,h(′1)=e-1>0,所以在区间(0,1)上存在x0使得h(′x0)=0.所以当0<x<x0时,h(′x)<0;当x>x0时,h(′x)>0.所以h(x)=(x-1)ex-x-1在区间(0,x0)上是减函数,在区间(x0,+∞)上是增函数.先判断函数h(x)在区间(0,x0)上是否存在零点.因为h(0)=-2<0,h(x0)<h(0)<0,且h(x)在区间(0,x0)上是减函数,所以h(x)在区间(0,x0]上不存在零点.再判断函数h(x)在区间(x0,+∞)上是否存在零点.注意到h(x0)<0,h(2)=e2-3>0,故h(x0)•h(2)=(e2-3)•h(x0)<0.又h(x)在区间(x0,+∞)上是增函数,所以h(x)在区间(x0,+∞)上仅有一个零点,故函数h(x)=(x-1)ex-x在(0,+∞)上仅有一个零点,与方程(*)应有两个不相等的正根不符.故当x>0时,函数g(x)不存在“增值区间”.教学反思:函数特征图如图1,通过研究发现函数有两个单调区间(0,x0)和(x0,+∞),接下来要判断函数零点个数,自然在两个区间里分别讨论.由于第一个区间无零点,所以要在整个区间(0,x0)上判断;第二个区间里存在零点,处理的技术是选取(x0,+∞)的一个子区间(如(x0,2))即可,从而作出整体性结论.在解题后半部分,思维量大,技术性强,对几个节点的突破,师生共同分析,教师要重点揭示转化方向和手段;在求解过程中,适时画出函数h(x)的特征图,帮助学生直观地理解、分析.

三、在反思与比较中优化思维

对已知的分析,不仅要看到已知的表象,更要看到已知所揭示的知识间的本质联系与深刻涵义.一个问题往往有好几种求解方向,不同的方向生成不同的解法,解法有简有繁,解题之初进行必要的比较和预判,优化解题思路;选择一种简洁解法,不但赢得了时间,也减少了出错的几率.因而,解题时要吃透题意,找好切入点,优化思维,不宜抓住题就做.案例4如图2,已知点P是圆F1:(x+3%姨)2+y2=16上的任意一点,点F2与点F1关于原点对称,线段PF2的中垂线与PF1交于点M,求点M的轨迹C的方程.教学分析:这是一个非常典型的问题,难度不大,学生不难得到F1(-3%姨,0)和F2(3%姨,0).设P(s,t),一部分学生尝试建立直线PF1以及线段PF2的中垂线的方程,然后联立两个方程求解,没有学生能够依此求出点M的轨迹方程.这是机械套用点M生成过程,是对已知条件的直用,没领悟到已知的本质含义。教学反思:类似于本题的平面几何知识在解析几何和立体几何中的跨学科综合应用,在解题中会不时见到,启迪学生抓住已知条件的涵义,多角度思考;由于解析几何的重点在于用代数方法研究几何曲线问题,平面几何又远离这一情景,学生不易想到,因而课后需要配备同类练习,予以强化.四、在求解论证的实践中体悟转化“技术”1.求解论证的起点是转化方向的破解求解论证是一项实践活动,成功的关键依托于对算理和已知条件的理解应用,要弄清已知条件的本质涵义是什么?有哪些等价表述形式?下一步,沿着哪个方向求解有利于沟通已知与求解目标的联系?2.求解论证的关键是找到转化手段转化与化归需要“技术”,这就是数学方法、变形技巧.数学体系中的概念、性质、法则、公式、公理、定理及由其内容反映的数学思想方法既是“技术”产生的基石,教学反思:这是一道综合性强、运算量大的题目.求解过程中,遇到三个关键节点,分别是①②③,节点①中向量的起点和终点不能弄错,节点②中以哪一个字母为主元进行变形,要重点解析,节点③中的变形是一种常用技术,需要认真剖析,并揭示三个节点转化方向产生的因由.在解题教学中,对节点的破解,以悟为重,揭示为辅;教师要准确把握学生思考过程中可能遇到的节点,创设思维情景,激发学生类比、联想,在学生突破的过程中获得真实体验,探索出结论.问题的成功解决,若来自于学生,则能够激发学生的兴趣,磨砺学生的意志,积淀良好的学习品质.因而,一些符合学生最近发展区的问题,尽量让学生思考体悟;成功的解题教学就是能够激励学生在问题解决中不断突破节点、探索出结论,能够点燃学生的思维火花,使学生获得成功感的教学.

作者:孟胜奇单位:广东省东莞市第一中学

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