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平面向量教学中的思想方法

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《中学数学杂志》2014年第十三期

一、方程思想的渗透

1.在自由向量中的渗透自由向量是向量的核心、重点、难点,尽管自由向量难度较坐标向量大,但是正是因其自由、多变才体现了向量深邃的魅力.基底是自由向量的基础,是解决自由向量问题的根基,围绕基底编制的向量问题,往往蕴含的正是基底的分解和方程的思想,来看一个具体案例。说明:(1)本题考查了向量的线性运算,知识要点清楚,但解题过程复杂,有一定的难度;(2)易错点是找不到问题的切入口,亦即想不到利用待定系数法求解;(3)方程思想是解决本题的关键,要注意体会.

2.在坐标向量中的渗透案例3:已知向量a、b满足|a|=|b|=a•b=2,且(a-c)•(b-2c)=0,求|b-c|的最小值.分析:考虑到向量a、b满足夹角为60°,且模长均为定值,也可以采用坐标化的代数运算来解决,此方法技巧性低,运算量稍大.说明:对于特殊情形的向量问题,坐标化是自由向量更为特殊的表象.对于本题,利用轨迹思想和三角换元,将模长问题转化为一种正交分解下的方程运算,简单而有效,足以体现用方程思想解决问题的重要性.本题也可以用自由向量的方式求解.

二、代数化思想的渗透

向量复习教学,我们有时往往只追求简解、捷径,更多地关注了向量解题时的“图形化”策略,这让笔者想起数学家吴文俊先生提出的数学问题的“机械化”,即要求在运算或证明过程中,每前进一步之后,都有一个确定的、必须选择的下一步,这样沿着一条有规律的、刻板的道路,一直达到结论,即所谓的机械化就是刻板化和规格化.由于计算机的出现而呈现旺盛生命力的数学机械化思想在数学研究上已经发挥出它的巨大威力,并且对当今数学及数学教学产生了巨大的影响.类比上述吴先生的“机械化”,笔者想说:重视向量教学的“图形化”没有错,但日常教学中也不能忽视向量“代数化”的指导思想.因为通过平面向量基本定理演变而来的机械化的代数运算和坐标化的代数运算,是解决向量问题一般性的通法.笔者通过教学实践,结合例题,明确指出“代数化”的解决方案也具有一般性.案例4:即文中案例1.分析:若针对本题无法建构图形,不妨从代数的角度来一探究竟.|a-te|≥|a-e|是本题的核心条件,从此下手,一般采用平方处理,而后对任意t∈R进行恒成立问题的求解.说明:平淡朴实的“代数化”方法背后,只有基本的向量运算,高一的学生也基本能解决,要注意的是Δ的化简运算中,不能将(a•e)2展开为a2•e2,这是向量与数量之间运算法则的差别.总之,数学思想方法教学使学生更容易理解数学科的内容,使其在掌握了一些数学思想方法后再去看待相关的数学知识显得“高屋建瓴”,挖掘其中更深层次的问题属于下位学习,这样的学习更具稳定性,有利于旧知识的巩固和新知识的学习,能够顺利将新知纳入到自身知识体系中去,数学思想方法正是体现了这么一种核心.另一方面,我们的数学课堂教学应该要有精准的点拨,适时的启发,有时还要大胆地放手,但必须将“思想方法”渗透到底.而“思想方法”的渗透要求对每一次的教学内容进行精心地组织,特别是在例题的选取上一定要具有代表性和典型性,在知识的讲解上不仅要有横向的深入,更要有纵向的联想、组合、类比,实现知识由“厚”到“薄”,由“散乱”到“有序”的转化,提高知识的系统性、关联性和网络性.笔者也有两点想法.(1)向量教学不能抛弃“作图”策略.众所周知,“图形化”是向量问题解决的基本方法,如平面向量基本定理的引入为我们解决平面几何问题带来了巨大的帮助,把原来的烦琐证明“机械化”为“图形语言”,教学中,经常有教师动辄以巧法取胜、沾沾自喜,而不多想几个为什么、多想一些途径,殊不知在这种“惊喜”的背后往往是对学生解决向量问题多策略培养的忽视和缺失.(2)向量教学需“双管齐下、不偏不倚”,领略不同策略的魅力.数学教学是对数学美的一种领略和传承.向量教学中,图形建构无法实施时,“代数化”策略向大家展示了运算力量的魅力,如文中的坐标法,引用哥伦比亚大学华裔数学家张寿武教授所说:“我觉得数学最妙的地方是:正确是基于简单的理由,而不是复杂的理由.数学与科学和文学一样,能够留下来的东西都是最简单的.我不喜欢追求技巧的东西,那是微不足道的,解决数学问题我追求的是运算的力量.”因此,在教学中,我们应取长补短,合理地运用方程思想和数形结合思想,教会学生在向量问题面前“两条腿走路”,以备不时之需.

总之,近年来,对高中数学思想方法的考查越来越受到各地高考的重视,教师在教学中也要对思想方法从教学开始就进行全面渗透,提升学生通过问题看本质的能力,使其在掌握扎实的“双基”的同时,将知识点进行有机的整合,最终上升到思想方法的高度进行提炼,久而久之的磨练可以提升优秀学生的数学能力和数学素养.本文从典型问题的角度阐述了平面向量教学中应该注重的一些数学思想方法教学的渗透,并从思想方法的高度回顾了平面向量教学应该注重的方面.高中数学的很多章节都体现着思想方法教学的重要性,我们不仅要解决基本知识,也要站在思想方法的系统高度帮助学生高效地学习数学、掌握数学、理解数学.用澳洲华裔数学家陶哲轩的话说“:数学思想方法是一种结晶,值得研究和深化.”

作者:许海林单位:江苏省南通市海安立发中学

中学数学杂志责任编辑:田老师    阅读:人次