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高中数学教学的推广意识

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《中学数学杂志》2014年第十三期

一、高中数学教学中渗透数学推广意识的策略

在高中数学课堂教学中渗透数学推广意识,就是在数学概念和数学问题解决的教学过程中,以数学地认识问题和解决问题为核心任务,以数学知识的发生发展过程和理解数学知识的心理过程为基本线索,教师为学生设计并“构建前后一致逻辑连贯的学习过程”,[4]使学生在掌握数学知识的过程中养成数学的推广意识,掌握数学推广的基本方法和途径.

1.分析数学概念的外延,剖析数学概念的推广历程中学期间的不少数学概念的前后之间往往具有很强的联系性,先前的概念常常是后续概念的基础,这是因为随着学生掌握的数学知识的深入,数学概念的外延和内涵也在不断的扩大,这就是数学概念的推广.因此,在进行数学概念教学时,一方面我们要让学生明白这个概念的产生基于什么样的知识或者实际背景,它有什么意义,它的产生是为了解决什么问题;另一方面我们更要让学生明白这个概念和前面概念的区别和联系,为什么要把这个概念进行推广,以及如何推广等,通过引导学生对这些问题的思考和解答,不仅可以让学生理解数学概念产生或推广的必要性,以及数学概念推广的逻辑顺序,更好地领悟数学中推广的含义,还可以让学生参与到概念本质特征的概括过程中来,帮助学生自主地建构和领悟新的数学概念.比如,学生在初中学习了整数指数幂,到了高中要研究指数函数,因此,需要将指数从初中时的整数指数幂推广到实数指数幂.为了帮助学生对指数从整数指数幂推广到实数指数幂这一概念的理解,在教学中,我们可以让学生从数学推广的角度去经历指数概念的推广历程:从整数指数幂到有理数指数幂的推广,需要引入分数指数幂,以及把整数指数幂的运算性质推广到分数指数幂的运算性质,进而再把有理数指数幂推广到实数指数幂(当然这里还涉及无理数指数幂的情况),同时还要让学生清楚有理数指数幂的运算性质同样适用于实数指数幂,这样在把新的指数概念纳入到了相应的指数概念体系中去的同时,也让学生体会到了指数概念逐步扩充和推广的过程,这个过程为接下来学习和研究指数函数,以及幂函数奠定了基础,也为对数的引入及对对数函数的研究做好了铺垫.

2.重视多角度解决问题,探求数学命题推广的本质解法在高中数学课堂教学中,教师可以选择性地对一些典型的数学问题,引导学生进行分析、探究,从不同的角度寻求问题的解决办法,这样不仅可以开拓学生的解题思路、加强知识间的横向联系,更重要的是让学生体会问题中所蕴含的数学思想方法,揭示数学本质,从而为问题的多角度解决或数学命题的推广提供帮助。从上面的分析我们可以看到,我们若能仔细观察题目的结构特点,联想所学过的知识和方法,多角度思考,多角度探究,就会获得问题的不同的解决方法,而且借助解法4我们由此得到了更一般的问题的解决方法,因此,这是让学生通过一题多解体会数学命题推广方法的一条有效的途径.

3.观察数学命题的“维数”,实现数学命题从“低维”到“高维”的推广数学命题的“维数”一般指数学命题中的变量个数,“维数”还泛指未知数的个数、方程的次数、不等式的次数、函数迭代的次数、数表的阶数等.利用数形结合的方法,我们可以得到结论:当c=2时,函数y=g(x)有5个零点;当c<2时,函数y=h(x)有9个零点;当c>2时,函数y=h(x)有1个零点.这里的函数g(x)相当于函数(fx)的2次迭代,那么对于函数(fx)的n次迭代,结论会怎么样呢?结合例2的数形结合的解法,我们有如下的推广,并可以用数学归纳法加以证明.在教学中,如果我们经常引导学生这样对问题作合理的猜想和适度的拓展,势必会提高学生分析问题和解决问题的能力,更重要的是能够培养学生对数学命题的推广意识,这为发现数学问题和提出数学问题提供了一个很好的方法.

4.反思同类数学问题的异同,关注数学问题的纵(横)向推广在高中数学的习题教学中,我们经常会遇到看似不同但内在本质完全一样的题目,如果把这些本质类似的东西进行比较,并加以联想就会推导出更广的甚至一般性的结果.这种过程不仅是从特殊到一般的一种推理过程,实际上也是一种寻求解题思路,用类比的方法进行命题推广的过程,从推广的方向看,这种推广属于纵向推广或横向推广.这样的纵向推广,不仅使学生领会了解决这一类问题的基本方法,更重要的是,通过推广,让学生体会到了用类比的方法把数学命题进行推广的技巧,提高了学生学习数学的兴趣和信心.

5.寻求数学知识之间的联系,探索数学命题推广的规律阶段性的学习后,我们要引导学生总结、反思、整理所学的知识和方法,思考在所学的知识中是否存在某一类问题的规律、方法并加以运用或推广.如果学生在做类似的工作时没有什么头绪,教师可以先给学生提出一些思考的方向,抛出一点“饵料”,启发学生由此提出有意义的问题甚至得到一般性的结论.比如,在上完圆锥曲线的内容以后,有一次,笔者在课堂上“无意”中说起解析几何中的命题的推广的方法:如果某个命题的结论在圆中是成立的,那么我们可以考虑对这个结论作推广,这个命题在椭圆、双曲线、抛物线(甚至对于任意的二次曲线)背景下是否成立.例如,我们大家知道,如果一个直角顶点固定的直角三角形内接于圆,那么不管这个直角三角形直角边的位置如何变化,其斜边一定过一个定点,当然这个定点就是圆心.那么对于这个结论,你能不能进行推广呢?一石激起千层浪,学生对这个问题的思考和推广,远远超出了笔者的想象,得到了一系列非常漂亮的结论,并都得到了证明,笔者把他们的结论总结如下.学生将笔者在课堂上抛出的“饵料”演绎得出神入化,在和学生的交流中,笔者得知,在得到上述结论前,他们先是考虑直角三角形的直角顶点在原点的情况(先把曲线推广为抛物线,因为抛物线是二次曲线中相对简单的曲线),然后再把直角顶点移到一般的点P(x0,y0)处,也经历了曲线从抛物线到椭圆再到双曲线的演化过程,但最后有同学提出来,既然它们都是二次曲线,那么能不能有一个统一的结论,于是最后的两个推广结论就脱颖而出了.这样的推广方式正好体现了从特殊到一般的推广方法,当然其中也用到了类比推广的方法,通过这样的推广,学生的运算能力和归纳猜想能力得到了锻炼,通过这样的推广,其训练效果胜过做几十道毫无联系的解析几何题目.

二、高中数学教学过程中渗透数学推广意识应注意的几个问题

当然,数学的发展不仅仅是推广,但在高中数学教学中渗透数学的推广意识,对教师却是提出了更高的要求,教师除了要具有开阔的数学视野、了解与中学数学知识有关的扩展知识和内在的数学思想外,还必须要有对数学命题进行推广的基本技能和教学意识.教师只有站在更高的起点,才能引领学生发现更好的问题,提出有研究价值的问题,才能成为学生进行数学推广的组织者、指导者,使数学命题的推广来得更自然、真实和富有启发性.

1.数学推广意识的培养的起点是解题后的回顾著名数学教育家G.波利亚说过:“数学问题的解决仅仅只是一半,更重要的是解题之后的回顾.”[5]所谓的回顾,就是解题后的总结和反思.为了提高学生发现问题、提出问题的能力,为了培养学生的推广意识,在教学中,我们要有意识地引导学生进行解题后的总结和反思:你的解答严密吗?有没有重复和遗漏?这道题还有没有其他解法?你会变式吗(甚至于把这道题目变得面目全非)?你会用类比的方法把这道题的结论推广吗?这道题是怎么构造出来的,它的背景是什么?对解题思路、解题过程的反思,可以帮助学生判断解题过程的正确与否;对解题方法的反思,可以帮助学生对所用的解题方法进行改进优化,从而拓宽学生的解题路径;对数学问题的拓展与推广的反思,可以加深学生对问题本质的理解,提升学生的思维高度.所以,有人说,数学解题后的回顾是通过有限道题目的学习去领悟那种解无限道题目的一种数学机智,也是培养学生数学命题推广意识的一条有效的途径.

2.数学推广意识的培养需要发挥学生思维的主动性18世纪德国物理学家李希坦伯格曾说:“那些曾经使你不得不亲自去发现的东西,会在你脑海里留下一条途径,一旦有所需要,你就可以重新运用它.”[6]因此,学生学习任何东西的最好途径是自己去发现.在教学中,教师要引导学生养成主动推广的意识,比如,教师在对问题进行分析和讲解以前,可以让学生猜猜结果或猜猜部分结果,在解完某一个数学问题后,要鼓励和启发学生对命题进行推广.某一个数学命题推广的思想应当在教师的启发下从学生的脑子里自然地流淌出来,而教师仅仅只应起一个产婆的作用.教师的责任就是激发学生们学习数学的兴趣,以及为学生构建前后一致逻辑连贯的学习过程,从而唤起学生对数学命题思考和推广的欲望.

3.数学推广意识的培养是一个潜移默化的过程我们还需要知道培养学生的数学推广意识是一个长期的、潜移默化的过程,心理学研究表明,某一种技能和意识的形成过程是有阶段性的,学生对数学命题的推广意识的领悟也必然要遵循这个规律.因此,培养学生的数学推广意识不能仅仅依赖于一两节课,而是要通过长时间的熏陶和积累,我们不能忽略两个重要的学习阶段:探索阶段和同化阶段,因此,在课堂教学中,教师应当时常介绍更多一些带有挑战性的题目,一些具有丰富背景并值得深入探索的题目,一些能预先品味到科学家工作的题目,并保留一点时间对已完成的解法进行一些回顾性的总结和讨论,这对培养学生的推广意识无疑是有好处的.

作者:沈新权顾乙单位:浙江省嘉兴市第一中学RiceUniversity

中学数学杂志责任编辑:田老师    阅读:人次