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几何直观在数学教育中的发展

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几何直观虽然比实物直观、图画直观等要抽象一些,但它在数学领域却更为重要,有其独特的优势和不可替代的作用。

(一)几何直观最能反映问题的本质

代数对象(如实数、实数对、方程)与几何图形(如线段、平面上的点、几何曲线)在某种规定下,可以建立一一对应关系。在一一对应关系下,代数对象与几何图形可以看成一样,即可以看成是同一事物的不同表示形式。如此,代数对象的本质属性一定会在相对应的几何图形中体现出来;几何图形的关系反映的也一定是相对应的代数对象的关系。这就是几何直观的依据,这就是几何直观最能反映问题本质的原因所在,而这一点其他直观物很难做到。例:小红每天上午7时25分离家上学。第一天每分钟走35米,结果迟到5分钟;第二天每分钟走50米,结果早到7分钟。求早晨上课时间及小红家到学校的距离。这道题让一位成绩优秀的小学五年级学生做,她考虑了近20分钟一点思路也没有。后来教师把线段图(图1)画好了让她做,结果这位学生仅用了一分半钟就做好了。这说明什么呢?这说明学生从文字表述的题目中较难看清问题的实质,但从线段图———一种典型的几何直观里能较清楚地看到问题的本质,进而促使学生更好地分析和解决问题。想象一下,像这样的问题,如果没有线段图,教师怎么讲才能让学生听懂;学生面对这样的问题,如果不借助于线段图怎么才能更快地解决。小学数学教材中充满了几何直观,不是形式主义,而是教师教学和学生解决问题之重要的、有效的辅助。

(二)几何直观表述问题最清楚、最简洁,有利于数学活动的开展

几何直观中的直观物是几何图形———数学的一种特色语言(另一种特色语言是符号)。为什么数学会把抽象的数学符号和几何图形作为自身的语言呢?这是因为这两种对象能最简洁、最清晰、最直观地表述问题。比如小学整数基本应用题有4大类13种。如果用普通的文字语言讲给学生听,学生肯定理解不清,但用线段图向学生说明,学生一听就懂,而且记得牢。比如学生认识分数,学习分数运算,几何直观都能发挥很好的作用。图2是人教版小学数学教材三年级上册第101页练习二十三里的一个题目:再比如像这样一个问题(小学数学竞赛题):证明任意六个人中,至少有三人互相认识或互相不认识。解:如图3,用A,B,C,D,E,F六个点表示六个人,两人认识就用实线将其连接,否则用虚线连接。则“证明任意六个人中,至少有三人互相认识或互相不认识”就是要说明用实线或虚线把A,B,C,D,E,F六个点两两连接后,至少会出现一个实线三角形或虚线三角形。线段AB,AC,AD,AE,AF中至少有三根实线或三根虚线,不妨设有三根实线为AB,AC,AD。如果BC,CD,DB全是虚线,则出现了一个虚线三角形BCD,如果BC,CD,DB不全是虚线,不妨设BC为实线,则ABC为实线三角形。问题得证。看一看,如此几何直观表述问题多么简洁、方便和清楚!想一想,此问题如果不是几何直观真不知道如何才能说得清楚。适应并能熟练地掌握几何图形和数学符号这两种数学语言是顺利地、有成效地进行数学学习活动的重要基础之一。所以,运用几何直观不仅有利于学生解决问题,同时也培养了学生的数学语言,进而有利于数学活动的开展,促进学生的数学修养更好地发展。

(三)几何直观的运用十分有利于人的形象思维和抽象思维共同发展

为什么要加强直观教学?我们早已知道的理由是:数学比较抽象,儿童的思维以形象思维为主,抽象思维能力较低,所以学生在认识抽象的数学内容时要借助形象直观。其实,中学生和大学生同样要如此。人的基本思维方式有两个,即抽象思维和形象思维,它们分属于左右大脑,相辅相成。从心理学的角度看,当人们面临解决问题的情境时,两种思维协同发展和联合运用效果最佳。几何直观的直观物———几何图形,比实物和图画抽象,但比用纯文字表述要直观。可以说几何直观是集形象与抽象于一身,所以几何直观不仅有利于学生解决问题,而且有助于学生抽象思维和形象思维共同发展,进而更好的发展学生的智力。有一位小学老师做过实验:选择两个上学年数学均分相差0.3分的班级做实验对象,分数稍低一点的为实验班,实验内容为应用题教学。在实验班级的应用题教学中,她非常重视线段图辅助,并把画线段图作为一项基本功对学生进行了系统地训练,而对比班级应用题教学很少用线段图辅助,但加强了实物与非几何图形的图画直观,增加了解题训练量。实验半学期出卷测试,结果实验班级学生的测试均分比对比班级高10.01分。

几何直观与实物和图画等其他形式的直观比较还有一个好处,即方便,有笔有纸就行,学生画得出。加强几何直观教学是数学学科的自身特点所决定的,符合人的认识规律,有利于且方便于学生分析和理解问题,有助于不断提高学生的解题能力和思维能力。我们坚信,只要教师重视了几何直观教学,学生理解掌握了几何直观方法,那么几何直观一定会在整个数学领域像金子一样闪闪发光。

作者:张家骥单位:江苏省盐城高等师范学校

中学数学教学杂志责任编辑:田老师    阅读:人次