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面心立方晶格构成的材料

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《大学物理杂志》2014年第六期

1计算思路

假定构成任何大小的某种金属,如Au或Ag,由面心立方晶格最小单元———结晶学单胞沿3个晶轴方向多次重复堆砌而成.从一个完整的单胞开始,堆砌是在3个晶轴方向上等量地增大.这样形成新的所有块体仍然是立方体,如图1所示(限于篇幅,这里只绘出4个立方体块).最小的块体就是1个单胞,紧接着的第二个块体是含有8个单胞的立方体,第三个含有27个单胞,以此类推第n个立方体,应含有n3个单胞.可以想见,如果n很大,这个立方体的边长相对于晶胞参数(设为a)而言也就很大,当然其表面和体内原子数也很大.在构筑好立方块之后,我们就着手对其表面原子数和体内原子数进行计算.

2递推公式

引进3个变量Nsur、Nint和r分别表示某种立方块(对应某个数n)的表面原子数目、体内原子数目和二者之比:r=Nsur/Nint.先从一个完整的单胞开始,即n=1情形.按照固体物理知识,其内部没有原子即Nint=0,而原子全部在体表:原子占据8个顶点和6个面心位置.这样,Nsur=8×18+6×12=4,其中该式第一项表示每个顶点位置的原子只有八分之一属于该单胞,而每个面心的位置的原子只有一半属于该原子.这里需要解释一下:该式的第一项仍然是顶点原子贡献的数目;第二项是6个面上原子贡献,每个面此时有5个原子占据;最后一项是12条棱上各有1个原子占据位置,但每个位置对原子个数的贡献率为四分之一.此时,体内的原子个数其实,式(5)是很好理解的.为了便于说明问题,图2给出了由面心立方单胞沿3条轴同时增大n倍后构成的立方块的一个面原子位置示意图.其中黑色实心球代表顶点位置,三角形代表面上由相邻两个堆砌单胞的顶点重合位置,灰色六角形代表堆砌单胞面心上的原子占据位置,空心球代表棱上原子占据位置.于是有:将三者相加,便得到第5式.最终体表原子数。

3讨论

可见,在n≥3时,体内原子数就超过体表原子数.当n很大时,由式(7)可得比值与体表和体内原子数的关系以及体内原子数相对于体表原子数之比示意图.对于宏观大小的一方块Cu,比如重量为100g,其体积大概在11.2cm3(当作立方块,其边长为2.24cm),这块铜大约含有9.4×1023个原子.这样便可粗略估计出其表面原子.因为4n3=9.4×1023,由此可以得到n≈6.17×107.由式(5)可得Nsur=2.28×1016,而体内原子数Nint仍大约为9.4×1023,比起表面原子数目高出107倍.可见,这块Cu比表面效应很小.但是当n减小,小到r在10-3~100时,或体内原子数目只比表面原子多100~103倍时,比表面效应就会明显.由此可以推算出这时材料的尺寸.对于Cu而言,其晶胞参数为0.361nm[5],当体内原子数目比表面原子多103倍时,n~1450,估算出颗粒的大小为1450×0.361nm≈523nm.当体内原子数目比表面原子多102倍时,n~150,颗粒的大小为150×0.361nm≈54.2nm.当体内原子数目比表面原子多101倍时,n~16.可以估算出颗粒的大小为16×0.361nm=5.78nm.一般而言,纳米材料尺寸在1~100nm之间,对Cu,当纳米颗粒尺寸为100nm时,n=100/0.361≈277,即由4×2773(≈8.2×107)个小单胞堆砌而成的颗粒具有较显著的比表面效应.又比如Ag,其晶胞参数为0.409nm[4],按照相同办法,当体内原子数目比表面原子多102倍时,n~150,颗粒的大小为150×0.409nm≈61.35nm;当体内原子数目比表面原子多101倍时,n~16.可以估算出颗粒的大小为16×0.409nm=6.54nm.而金属纳米颗粒已有产品在市场上出售,用于表面等离子体激元引起的表面增强拉曼散射等方面.如市场上出售的Ag纳米颗粒尺寸最小约为10nm[6]左右,这与我们的估算基本一致.实验室制备的金属纳米粒子最小尺寸也非常接近我们的估算值.当然,上面的推导是在假定块材是由最小单胞理想堆砌下而得到的.其实材料内部还存在缺陷、无序等.但这种估算对于固体物理课程的初学者如何估算材料尺寸小到什么时候其比表面积效应就较为明显有所帮助.该方法还可以推广到如何计算材料的表面积等方面.

4结束语

本文介绍了由面心立方晶胞组成的块体材料其表面与体内原子数目之比的一种计算方法,由此可以估算出这类材料尺寸小到什么程度时它的比表面效应就突显出来.

作者:李广吴明在王磊单位:安徽大学物理与材料科学学院

大学物理杂志责任编辑:田老师    阅读:人次
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