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探微数学教育革新的新思路

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1数学的重要地位

伽利略曾说过,“数学是上帝描写自然的语言”;爱因斯坦曾说过,“纯数学使我们能够发现概念和联系这些概念的规律,这些概念和规律给了我们理解自然现象的钥匙”;李开复在《数学之美》一书中说,“……深刻体会到数学在所有科学领域起到的基础和根本的作用”。我们的祖先从掰指头,到用象形文字以及创造了进位制,到发明了包括0在内的10个阿拉伯数字,再到数的发展(自然数———整数———有理数———无理数———实数),再到数的四则运算……无一不说明了初等数学源于生活,用于生活,且在实际生活上起到的重要作用。

数学是科学王国中的皇后。纯数学中经常蕴含着数学方法与数学原理,由于它们过于抽象,看上去没有什么实际用途,但是随着时间的推移最终能找到适用的地方,且派上大用场。例如布尔代数非常简单,刚开始不少人不相信它能解决实际问题,但后来直至现在它在数学和计算机发展上都起到重要作用,可以说搜索引擎离不开布尔运算;例如欧拉用离散数学中的图论知识解决了哥尼斯堡的七桥问题,而且离散数学是计算机科学的数学基础,其中“网络爬虫”这个程序的编写是基于图论的原理BFS与DFS(即广度优先搜索与深度优先搜索);又例如名为“PageRank”的网页排名算法是一个计算网页自身质量的完美的数学模型,由Google的创始人拉里•佩奇和谢尔盖•布林发明,是以线性代数为知识基础的,很大程度上解决了搜索引擎的质量问题的一个方面———关于衡量网页质量……这些例子有两个共同的特点,一是源于实际需要;二是将实际问题转化为数学问题,由创建的数学模型来解决问题。数学的精彩之处就在于简单的模型可以干大事,像这样的例子数不胜数,关键是等待我们去搜索、发现与总结。数学理论大部分源于直接经验,只是最终被定义得比较抽象。微积分中的大部分理论来源于直接经验,但是经过2500年左右在19世纪最终被数学家采用的逻辑性定义却超越了感官想象,如极限、无穷小、连续性等概念。当然唯有这样,知识与思想才便于传承。看看如今的微积分的基本定义———导数和积分的定义———在该学科的教科书中表述得如此清楚,涉及它们的运算如此易于掌握,人们似乎忘记了当初研究这些基本概念所遭遇的艰辛。总而言之,数学无处不在,源于生活,用于生活,且在生活与科学发展上起到了重要的作用。

2数学教学改革的必要性

数学是专业学习和从事科技工作必不可少的重要工具,是培养理性思维的重要载体,是接受美感熏陶的一条途径。数学不仅是一种工具,而且是一种思维模式;不仅是一种知识,而且是一种素养;不仅是一门科学,而且是一种文化。它对各类人才的成长具有不可替代的重要作用。

十七八年来,在教育部和各级各部门的领导下,高校数学课程教学改革取得了一系列丰硕的成果,在提高大学数学的教学质量方面取得了显著的成绩,但是随着时间的推移与科技的进步,数学教育仍然面临着新形势与新问题。数学既然如此重要,如何让数学教育与时俱进是重中之重。根据前文分析,数学教育面临着两大问题:一是人们(包括学生)普遍认为数学没用;二是数学学习起来困难,无趣。那么问题的根源是什么?一是人们对数学的认识不够;二是学生数学水平下降,及数学确实较其他课程难学。怎么提高学生对数学的认识?怎么让学生感觉学习数学不难,甚至有趣?从某种意义上说,教育应承担所有的责任。这是国家教育部门、学校、教师、乃至家长应该一起思考解决的难题。

提高认识,强化意识是数学教育的首要任务。要让食物畅销,当人们认识到食物对身体的强大好处时,已事半功倍了。数学教育也是如此,要让人们认识到数学与生活息息相关,且具有强大的作用,人们才能心服口服地学习数学,甚至将数学学习列入“终身教育”菜单中。早有人提出数学教学联系数学史是教学方法改革的一个可考虑的方向。知识要落地,最重要的是理解知识的由来。反对教条主义的呼声越高,激起人们对科学史越浓厚的兴趣。所以数学教育教学应重视数学史部分。简化概念与运算是数学教学的必经之路。纯数学或高等数学难就难在抽象的概念与繁琐的运算。高等数学不同于初等数学,无法直接用感官感知。每一种感官都受到最小感受能力的限制。教师可以通过介绍或分析概念的由来与形成过程淡化抽象;并且可以通过必要的软件教程简化运算。例如可以利用这样一段话来阐述极限、导数与积分三者的关系。

“正像用平均速度的趋近来定义瞬时速度带来了导数的定义,同样,定义曲线构成的图形的长度、面积和体积,结果却带来了对定积分的详细阐述,最终导数与定积分的抽象的数学定义建立在元素的无穷序列极限的基础概念之上。所以说极限是导数与积分的基础。且导数与定积分的定义相互独立。那么建立起导数与定积分之间的桥梁是什么?牛顿和莱布尼茨发展了构成通常所知的微积分基础定理的显著特性,也即连续函数f(x)的定积分F(x)=∫xaf(t)dt有一个导数,它恰好是同一个函数F''''(x)=f(x),也就是说,f(x)从a到b的定积分的值是以f(x)的导函数F(x)在x=a和x=b的差。简言之,导数与定积分之间的桥梁是不定积分,从而我们才认识到它们的惊人的互逆关系,再则才有了运算规则的公式化,基本积分公式以及微积分基本定理∫baf(x)dx=F(b)-F(a)。”

3措施

针对提出的问题,笔者从教师、高校与国家三个方面提出一些建议,供参考。我们都希望出台的措施行之有效,受益面广,力度大。(1)教育部或高校可以规定数册教师必读的课外书籍。必读本可由学校统一发放。教师可以通过阅读搜集与教学内容有直接或间接关系的资料,然后组织一起交流与整理,并与教学整合。这样,教师不仅可以扩展知识面,也可以提高教学质量。

(2)高校可以给教师开设数学方面的讲座,主要是提高教师对数学的认识。

(3)高校领导要发挥领头羊的作用。一可组织数学教师与各专业课教师多交流,多方面搜集资料;二可向专业课教师作一些相关数学方面的问卷调查,题目如专业中哪些课程有涉及到数学理论?若有,具体是什么?与你所教的课程相关的数学知识有哪些?印象最深的一道数学题是什么?等等。这样一来可以在数学教学与专业结合上有所进展。

(4)教育部可尽快组织一支专门研究数学课程教育教学的队伍,多调研多搜集,然后撰写新的数学教科书或数学教学参考书,然后由教育部指定发放。建议撰写方向———强调有机结合知识背景内容,提升认识,增加趣味;简化计算,运用软件,如Mathematica数学软件;增加实践部分,如软件操作;部分适当的数学应用知识。例如介绍不定积分与定积分的内容,均可省略对积分方法(换元法与分部积分法)的额外强调,可以用软件代替计算。教科书中可以出现这部分内容,毕竟有部分学生对钻研数学还是感兴趣的,但教学参考书中一定要说明情况。

(5)考试与评价体系建议有所更改。坚持将掌握相关数学史知识作为数学课程考核的一项要求。其实,国家在培养师范生时就应该关注这一点。提高认识比什么都重要。

(6)教师有必要关注数学建模,学习数学建模,即使学校没开展这项比赛。原因很简单,每届全国数学建模比赛的题目不仅与生活息息相关,也是应用数学的良好见证。

4结语

纸上谈兵终觉浅,说得容易做得难。一切从小事做起,从自身做起,脚踏实地,实事求是。高校数学教育改革不是一件易事,不在一朝一夕,而在只争朝夕。

作者:张丽清单位:厦门南洋职业学院

大学数学杂志责任编辑:田老师    阅读:人次